Suatu pewarnaan sisi-k untuk graf g adalah suatu penggunaan sebagian atau semua k warna untuk mewarnai semua sisi di G sehingga setiap pasang sisi yang mempunyai titik persekutuan diberi warna yang berbeda. Jika G mempunyai pewarnaan sisi-k, maka dikatakan sisi-sisi di G diwarnai dengan k warna
Pewarnaan titik dari graf G adalah sebuah pemetaan warna-warna ke titik-titik dari G sedemikian hingga titik yang terhubung langsung mempunyai warna-warna yang berbeda. Graf G berwarna n jika terdapat sebuah pewarnaan dari G yang menggunakan n warna Dalam pewarnaan titik erat kaitannya dengan penentuan bilangan kromatik, yaitu masalah menentukan banyak warna minimum yang diperlukan untuk mewarnai titik-titik pada graf sehingga dua titik yang terhubung langsung mempunyai warna yang berbeda
Eric W Weisstein. mendefinisikan graph gear adalah graf roda dengan tambahan sebuah titik diantara tiap-tiap pasangan dari titik-titik graf yang terhubung langsung pada sikel luar
Graf kubus (cube graph) adalah graf sederhana yang himpunan titiknya berupa himpunan tupel-n binar (binary n-tupel) (a1, a2, …, an), yaitu a1 adalah 0 atau 1, i = 1, 2, 3, …, n, dan dua titik terhubung langsung jika dan hanya jika dua tupel yang bersesuaian berbeda ditepat satu tempat. Graf kubus yang diperoleh dinyatakan dengan Qn (Purwanto, 1998:23)
Graf yang terdiri dari satu lintasan disebut graf lintasan. (Purwanto, 1998:22). Graf lintasan dengan n titik dinotasikan dengan Pn, dengan n bilangan asli
Graf bipartisi komplit (complete bipartite graph) adalah graf bipartisi dengan himpunan partisi X dan Y sehingga masing-masing titik di X dihubungkan dengan masing-masing titik di Y oleh tepat satu sisi. Jika |X| = m dan |Y| = n, maka graf bipartisi tersebut dinyatakan dengan Km,n. (Purwanto, 1998:22)
Graf bipartisi (bipartite graph) adalah graf yang himpunan titiknya dapat dipisahkan menjadi dua himpunan tak kosong X dan Y sehingga masing-masing sisi di graf tersebut menghubungkan satu titik di X dan satu titik di Y; X dan Y disebut himpunan partisi (Purwanto, 1998:21)
Graf komplit (Complete Graph) adalah graf dengan setiap pasang titik yang berbeda dihubungkan oleh satu sisi. Graf komplit dengan n titik dinyatakan dengan Kn (Purwanto, 1998:21)
Sebuah jalan (walk) u – v di graf G adalah barisan berhingga (tak kosong). W : u = v0, e1, v1, e2, v2, ...., en – vn = v yang berselang seling antara titik dan sisi, yang dimulai dari titik dan diakhiri dengan titik sedemikian hingga untuk 0≤ i ≤ n. Dengan ei = vi-1vi adalah sisi di G. v0 disebut titik awal, vn disebut titik akhir, v1, v2, ..., vn-1 disebut titik interval, dan n menyatakan panjang dari W (Chartrand dan Lesniak, 1986:26)
Derajat suatu titik v pada sebuah graf G, ditulis dengan deg(v), adalah jumlah sisi yang incident pada v. Dengan kata lain, jumlah sisi yang memuat v sebagai titik ujung. Titik v dikatakan genap atau ganjil tergantung dari jumlah deg(v) genap atau ganjil (Chartrand dan Lesniak, 1986: 8)
Graf G adalah pasangan himpunan (V, E) dengan V adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari obyek-obyek yang disebut sebagai titik dan E adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di G yang disebut sebagai sisi. Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan sisi dinotasikan dengan E(G). Sedangkan banyaknya unsur di V disebut order dari G dan dilambangkan dengan p(G) dan banyaknya unsur di E disebut ukuran dari G dan dilambangkan dengan q(G). Jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order dan ukuran dari G tersebut cukup ditulis dengan p dan q (Chartrand dan Lesniak, 1986:4). Dari uraian di atas, maka suatu graf tidak boleh mempunyai sisi rangkap dan loop. Sisi rangkap dari suatu graf adalah jika dua titik yang dihubungkan oleh lebih dari satu sisi. Sedangkan yang disebut dengan loop adalah suatu sisi yang menghubungkan suatu titik dengan dirinya sendiri (Suryanto dalam Fitria, 2007:6). Graf yang mempunyai sisi rangkap dan loop sebut multigraf.
Dewasa ini semakin banyak muncul penggunaan model matematika maupun penalaran matematika sebagai alat bantu dalam menyelesaikan permasalahan yang dihadapi dalam berbagai disiplin ilmu. Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang penting dan banyak manfaatnya karena teori-teorinya dapat diterapkan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Dengan mengkaji dan menganalisa model atau rumusan teori graf dapat diperlihatkan peranan dan kegunaannya dalam memecahkan permasalahan. Permasalahan yang dirumuskan dengan teori graf dibuat sederhana, yaitu diambil aspek-aspek yang diperlukan dan dibuang aspek-aspek lainnya Terkait dengan pernyataan di atas, pewarnaan titik pada graf merupakan salah satu dari materi pada teori graf yang berkembang dan mendapat perhatian saat ini. Dengan mengkaji dan menganalisis suatu pewarnaan titik pada graf tertentu, akan didapat suatu perumusan yang akan lebih memudahkan proses pengaplikasiannya ke dunia nyata.
Matematika merupakan salah satu cabang ilmu yang mendasari berbagai macam ilmu yang lain dan selalu menghadapi berbagai macam fenomena yang semakin kompleks. Hal ini disebabkan oleh kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi, serta matematika merupakan bahasa proses, teori dan aplikasi ilmu yang memberikan suatu bentuk dan kemanfaatan. Perhitungan matematika menjadi dasar bagi desain ilmu teknik, fisika, kimia maupun disiplin ilmu yang lainnya. Para ahli dari berbagai disiplin ilmu, menggunakan matematika untuk berbagai keperluan yang berkaitan dengan keilmuan mereka. Misalnya para ahli fisika menggunakan matematika untuk mengukur kuat arus listrik, merancang pesawat ruang angkasa, menganalisis gerak, mengukur kecepatan,
KODE B 1. Tentukan nilai n, jika (n+1)! / (n-2)! = 210 2. Jika diperlukan 4 orang laki-laki dan 7 orang perempuan untuk membentuk suatu barisan sedemikian hingga, tentukan banyak kemungkinan susunan barisan itu jika laki-laki harus di pinggir. 3. Ada 5 buku matematika, 7 buku kimia dan 6 buku fisika, akan di tata di sebuah rak buku. Dengan berapa cara buku itu di tata di rak, jika buku yang sejenis harus bersama. 4. Pak indra membeli 5 sepeda dan 7 mobil, jika tersedia 9 sepeda dan 8 mobil, berapa cara pak indra dapat memilih sepeda dan mobil, 5. Dari 30 kartu yang diberi nomor 1.2.3...30, untuk setiap kartu, diambil sebuah kartu secara acak, tentukan peluang terambilnya kartu kelipatan 6 atau 3. 6. Satu kotak berisi 11 bola biru dan 14 bola merah, diambil 2 bola secara berurutan tanpa pengembalian bola pertama, tentukan peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola biru di pengambilan kedua. 7. Dari sebuah kotak berisi 7 buah semangka dan 8 buah melon di ambil 6 buah sekaligus, tentukan berapa peluang paling sedikit terambil 1 buah melon.
KODE A 1.Tentukan nilai n, jika (n-1)! / (n-3)!=132 2. Jika diperlukan 5 orang laki-laki dan 6 orang perempuan untuk membentuk suatu barisan sedemikian hingga, tentukan banyak kemungkinan susunan barisan itu jika wanita harus di pinggir. 3. Ada 4 siswa kelas VII, 5 siswa kelas VIII dan 6 siswa kelas IX, mereka duduk mengelilingi meja bundar. Dengan berapa cara mereka dapat duduk mengelilingi meja bundar, jika yang kelasnya sama harus duduk bersama. 4. Pak doni membeli 4 ekor kambing dan 5 ekor sapi, jika tersedia 10 ekor kambing dan 8 ekor sapi, berapa cara pak doni dapat memilih kambing dan sapi. 5. Dari 25 kartu yang diberi nomor 1.2.3...25, untuk setiap kartu, diambil sebuah kartu secara acak, tentukan peluang terambilnya kartu dengan nomor kelipatan 5 atau 2. 6. Satu kotak berisi 10 bola putih dan 15 bola hijau, diambil 2 bola secara berurutan tanpa pengembalian bola pertama, tentukan peluang terambilnya bola hijau pada pengambilan pertama dan bola putih di pengambilan kedua. 7. Dari sebuah kantong berisi 6 kelereng kuning dan 7 kelereng biru di ambil 5 kelereng sekaligus, tentukan berapa peluang paling sedikit terambil 1 kelereng kuning.
JEMPOL DUA YANG MANIS BUAT DENSUS 88 KARENA TELAH BERHASIL MENEMUKAN DAN MENEMBAK MATI NOORDIN M TOP DI SOLO DAN JANGAN SAMPAI LENGAH..... MASIH ADA.... JARINGAN-JARINGAN KECIL LAINYA..... YANG PERLU DI BERANTAS..... MERDEKA....DENSUS 88
JIKA AKU PUNYA SALAH!!!!! BAIK YANG AKU LAKUKAN SENGAJA DAN TIDAK SENGAJA.. AKU MINTA MAAF YANG SEBESAR-BESARNYA... DAN AKU BERHARAP KITA AKAN TETAP 0 - 0 DI HARI KEMENANGAN INI...(AKU AKAN MENANGIS) KARENA AKU TELAH KEHILANGAN BULAN RAMADHAN YANG AKU CINTAI... DAN DI HARI KEMENANGAN INI...(AKU AKAN BERHARAP) AKAN BERTEMU BULAN RAMADHAN TAHUN DEPAN (1431 H) SELAMAT HARI RAYA IDUL FITRI 1430 HIJRIAH MINAL AIDIN WAL FAIZDIN MAAFKAN YAAAAAAAAA........
KATA ORANG EKONOMI MERDEKA ITU...JIKA NEGARA SUDAH BISA TERLEPAS DARI HUTANGGGG... KATA ORANG PEJUANG MERDEKA ITU...JIKA NEGARA SUDAH BISA TERLEPAS DARI PENJAJAHAN... KATA ORANG KESEHATAN MERDEKA ITU...JIKA NEGARA SUDAH BISA TERBEBAS DARI FLU BABI & AID KATA ORANG PEJABAT MERDEKA ITU...JIKA NEGARA SUDAH TERBEBAS DARI MASALAH... KATA ORANG KPK MERDEKA ITU...JIKA NEGARA SUDAH BISA TERBEBAS DARI KKN... KATA ORANG PEDAGANG MERDEKA ITU...JIKA NEGARA SUDAH BISA MENURUNKAN HARGA SEMBAKO... KATA ORANG MISKIN MERDEKA ITU...JIKA NEGARA SUDAH BISA MENJAMIN KEHIDUPANNYA... KATA ORANG SEJARAWAN MERDEKA ITU...JIKA NEGARA SUDAH BISA MENJAGA BUDAYA NEGARA... KATA ORANG GTT MERDEKA ITU...JIKA NEGARA SUDAH BISA MENGANGKAT MEREKA MENJADI PNS... KATA ORANG NEGERI MERDEKA ITU...JIKA NEGARA SUDAH BISA MENAIKKAN GAJI PEGAWAI... KATA ORANG BURUH MERDEKA ITU...JIKA NEGARA SUDAH BISA MENGHAPUS SISTEM KONTRAK... KATA ORANG OLAHRAGA MERDEKA ITU...JIKA NEGARA SUDAH MENGADAKAN FASILITAS OLAH RAGA KATA ORANG JOMBLO MERDEKA ITU...JIKA NEGARA SUDAH MENJAMIN JODOH YANG TEPAT.... KATA SAYA...!!! MERDEKA ITU EM ditambah E ditambah ER ditambah DE ditambah E ditambah KA ditambah A.. ATAU EM+E+ER+DE+E+KA+A.... DAN ORANG MERDEKA ADALAH ORANG YANG BISA MENGENDALIKAN HAWA DAN NAFSUUU.. SELAMAT MERAYAKAN ULANG TAHUN INDONESIA KE-64 DAN SELAMAT MENUNAIKAN IBADAH PUASA 1430 H...
KAMI SEGENAP KOMUNITAS PECINTA MATEMATIKA TURUT BERDUKA CIPTA ATAS MENINGGALNYA "MBAH SURIP" SURIP ARIYANTO... SEMOGA AMAL DAN IBADAHNYA BELIAU...DITERIMA DI SISI ALLAH SWT AMIEN................
Pengalaman pertama bisa internet-an Aku pertama megang computer atau internet, ketika aku duduk klas 2 SMA atau klas X1, waktu itu di ajari oleh kakakku, belajarnya setiap hari minggu. Karena waktu itu warnetnya jauh dan masih mahal tarifnya,jadi aku hanya 1 kali semingu atau 2 minggu bahkan 1 bulan sekali atau nunggu duitx terkumpull…. Dan itupun hanya modal nekat saja……….. banyak kejadian yang aku alami pada waktu belajar internetan… pertama ketika lagi buat email….komputernya henk…aku tunggu aja teruss hingga satu jam….jadi tidak ada hasilnya….selanjutnya karena sok tahu…. Klik sana…klik sini….akhirnya windownya terbuka banyak sekali…sehingga komputernya henk lagi dan manggil operator lagi….trus minggu depan lagi aku ke warnet lagi….karena belum bisa betul n baru tahu… yang namanya winamp(musik)…. Aku satu jam di internet hanya main winamp terus…gonta-ganti lagu teruss….itupun ketika main internetan sering panggil operator, untuk mengajari aku…dan saya sering ditertawain anak2 SMP yang berada di sebelah saya, karena saya Tanya dengan pertanyaan yang itu…itu…saja… dan ketika saya main chating...saya slalu bingung dengan caranya...saya pikir terlalu banyak caranya da rumit...bikin saya pusing..makanya ketika saya main chating..mesti ngajak temen...sehingga mesti cari22 kursi dobel..kadang2 juga tidak dapet kursi,akhirnya berdiri dehhh...capek sih...tapi demi chatingan saya harus berjuangg dan di tambeh diketawain trus..sama orang2 di warnet.H33…..h333…..akhirnya aku bisa lancar internet-an waktu kuliah di malang….OKEYYY COY,,,
Sejak zaman mesir kuno, bangsa mesir telah menyukai tanah dan bangunan yang berbentuk persegi panjang dengan sudut siku-siku yang tepat, padahal waktu itu mereka belum memiliki penyiku seperti yang ada pada saat itu, mereka banyak menggunakan segitiga ajaib Bagaimana segitiga ajaib itu? Segitiga ajaib terbuat dari tali panjang yang di ikat-ikat membentuk 12 simpul, ternyata 12 simpul itu membegi dua belas bagian yang sama panjang perhatikan gambar disamping Mula-mula tiap panjang ditancapkan di tanah yang akan di buat sudut (A), kemudian simpul ke 4 ditempatkan pada tali tiang pancang itu, tali ditarik sejauh 3 simpul dan simpul ke 7 ditempatkan pada tiang pancang (B), lalu, ujung-ujung tali yang telah disimpul (C) diletakkan ke tanah dengan tali dalam keadaan kencang, maka segitiga siku-siku terbentuk, jika tali BA dan AC kita jiplak di atas tanah, maka sudut siku-siku di A akan terbentuk, perhatikan gambar kembali di samping, pertanyaannya kenapa simpul itu jumlahnya ada 12 ???????????
1. Jika persamaan kuadrat akar-akarnya saling berkebalikan (x1 = 1/x2 ), maka a. D lebih besar sama dengan 0 b. a = c 2. Jika Akar-akarnya sa;ing berlawanan ( x1 = - x2 ), maka a. D lebih besar sama dengan 0 b. b = 0 dan c tidak sama dengan b 3. Jika kedua akarnya positif, maka a. D lebih besar sama dengan 0 b. x1 + x2 > 0 c. x1 – x2 > 0 4. Jika kedua akarnya negatif, maka a. D lebih besar sama dengan 0 b. x1 + x2 < 0 c. x1 – x2 > 0 5. Jika akar-akarnya satu positif dan yang lain negative, maka a. D > 0 b. x1 . x2 < 0 6. Jika Kedua akarnya lebih dari satu, maka a. D lebih besar sama dengan 0 b. x1 + x2 < 0 c. x1 . x2 - (x1 + x2) + 1 > 0, dan lain-lain
Bentuk Umum D = b2 – 4ac Fungsi Diskriminan Untuk menyelidiki sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat. Jika 1. D > 0, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar nyata yang berlainan (x1 tidak sama dengan x2) 2. D = 0, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar yang sama (x1 = x2) 3. D < 0, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai akar imajiner / tidak nyata / tidak real 4. D = r2, maka kedua akarnya real dan rasional
Contoh X2 + 2x – 3 = 0 Langkah 1 Pindahkan konstanta ke ruas kanan atau sederhanakan yang tidak mempunyai variable X2 – 2x = 3 Langkah 2 Tambahkan ruas kiri dan kanan setengah dari koefisien x yang dikuadratkan X2 – 2x + (1)2 = 3 + (1)2 Langkah 3 Ubahlah ke dalam bentuk kuadrat sempurna (x – 1)2 = 4, kemudian diselesaikan x – 1 = + - 2 x1 = - 1 , x2 = 3 jadi himpunan penyelesaian dari soal diatas adalah { -1, 3}
Bentuk umum ax2 + bx + c, dimana a, b, dan c adalah konstanta penyelesaian persamaan kuadrat ada 3 cara 1. Dengan Faktorisasi (Pemfaktoran) 2. Dengan Kuadrat Sempurna 3. Dengan Rumus ABC
1. Lihatlah koefisien pangkat tertinggi pertidaksamaa tersebut 2. Kemudian tentukan pada interval yang paling kanan 3. Jika koefisien pangkat tertinggi positif, maka interval paling kanan positif dan interval yang bersebelahan mempunyai tanda yang berlawanan, kecuali jika titik x pembuat nol yang dilewati mempunyai pangkat genap
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier lakukanlah langkah-langkah berikut: 1. Kumpulkan semua variable x ke sebelah kiri, dengan menyederhanakan persamaannya 2. Kumpulkan semua konstanta ke sebelah kanan, dengan menyederhanakan persamaannya 3. Selesaikan kedua ruas 4. Bagi harga yang diruas kanan dengan jumlah x yang terdapat di ruas kiri
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat lakukanlah langkah-langkah berikut: 1. Kumpulkan semua suku (variable dan konstanta) ke sebelah kiri 2. Tentukanlah nilai-nilai nol ruas kiri 3. Tuliskan nilai-nilai tersebut pada garis bilangan 4. Berikan tanda setiap interval
1. Jika a > b, maka (1). a + c, untuk setiap c (2). a – c, untuk setiap c 2. Jika a > b, maka (1). a . p > b . p , untuk p > 0 (dikali positif tanda tetap) (2). a . p < b . p , untuk p < 0 (dikali negatif tanda berubah) 3. Jika a > b dan b > c, maka a > c 4. Jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d 5. Jika a > b > 0 atau 0 > a > b, maka 1/a < 1/b 6. Jika a/b > 0, maka a . b > 0
Pertidaksamaan kuadrat dalam x ialah pertidaksamaan(pertidaksamaan sudah dijelaskan sebeluh ini) yang satu atau kedua ruasnya mengandung variable x berpangkat dua Bentuk umum ax2 + bx + c > 0, a tidak sama dengan nol
Pertidaksamaan adalah kalimat matematika (kalimat matematika telah dijelaskan yang lalu) yang terbuka dan yang memuat tanda “lebih besar dari” , lebih kecil dari”, “lebih besar sama dengan dari”, “lebih kecil sama dengan dari” dan “tidak sama”
Selisih dua himpunan A dan B adalah himpunan yang elemen-elemennya menjadi anggota himpunan A dan bukan himpunan B.atau… Contoh Jika A ={1.2.3} dan B ={2.3.4} Maka selisih himpunan A dan Himpunan B adalah {1}
Gabungan (union) dua himpunan A dan B adalah elemen-elemen yang menjadi anggota A saja atau menjadi anggota B saja atau sekaligus menjadi anggota A dan B atauuu Contoh Jika A = {1.2.3} dan B = {4.2.1} Maka gabungan Hmpunan A dan Himpunan B adalah {1.2.3.4}
Selisih dua himpunan A dan B adalah himpunan yang elemen-elemennya menjadi anggota himpunan A dan bukan himpunan B.atau… Contoh Jika A ={1.2.3} dan B ={2.3.4} Maka selisih himpunan A dan Himpunan B adalah {1}
Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika setiap elemen himpunan B dan sebaliknya jika himpunan A sama dengan himpunan B, maka banyaknya elemen {anggota} dan himpunan A selalu sama dengan banyaknya elemen himpunan B. dalam penulisan suatu himpunan, urutan tidak diperhatikan. Contoh Jika A = {a,b,c,d} dan B = {b,d,c,a} Maka himpunan A sama dengan himpunan B
Dua himpunan A dan B dikatkan ekivalen atau sederajad, jika banyaknya anggota (elemen) himpunan A sama dengan banyaknya anggota (elemen) himpunan B Contoh Himpunan A = {a,b,c} maka n (A) = 3 Himpunan B = {1,2,3} maka n (B) = 3 Maka Himpunan A Ekivalen dengan Himpunan B
Setiap elemen dari suatu himpunan harus memenuhi syarat keanggotaan sebagai berikut: 1. Harus dapat dibedakan antara benda yang satu dengan yang lain didalam himpunan tersebut 2. Harus dapat dibedakan antara benda yang menjadi anggota himpunan tersebut dengan benda yang bukan anggota tersebut 3. Harus ada hubungan yang nyata antara sesame anggota himpunan tersebut.
Sebelum kita bahas tentang himpunan semesta, alangkah baiknya kita lebih dahulu mengetahui pengertian himpunan. Himpunan adalah kumpulan suatu objek-objek yang mempunyai syarat keanggotaan dan terdefinisi dengan jelas.. Misalnya -Himpunan nama-nama bulan Januari, februari, maret, april dan lain-lain… Sedangkan himpunan semesta adalah himpunan dari semua elemen yang sedang dibicarakan. Misalnya -Bila kita bicara tentang januari, februari, maret, maka Nama Bulan dapat di anggap sebagai himpunan semesta..
Rasulullah SAW bersabda bahwa “tangan di atas lebih baik daripada tangan di bawah”. Para ulama sepakat memberikan pemaknaan bahwa “memberi adalah lebih baik daripada meminta”. Memberi tentunya mempunyai pengertian yang begitu luas, memberi harta, memberi makan, memberi ilmu, memberi kesenangan, dan memberi hal-hal yang lain yang tidak bertentangan dengan syari’at Islam. Memberi dalam Islam seringkali identik dengan kata shadaqah, meskipun tidak sepenuhnya sama. Memberi tidak selamanya merupakan shadaqah, tetapi shadaqah pasti memberi. Berikut ini akan penulis coba ilustrasikan bagaimana shadaqah dapat diaplikasikan dalam operasi pengurangan. Secara matematik, urutan operasi hitung dasar adalah (1) penjumlahan, (2) pengurangan, (3) perkalian, dan (4) pembagian. Namun, secara psikologis, urutan itu adalah (1) penjumlahan, (2) perkalian, (3) pengurangan, dan (4) pembagian. Mengapa? Karena penjumlahan adalah yang paling mudah bagi siswa. Penjumlahan berulang adalah perkalian, sehingga perkalian menempati urutan kedua. Pengurangan pada urutan berikutnya, meskipun sebenarnya secara matematika, pengurangan adalah operasi balikan (inverse) dari penjumlahan. Lalu pembagian, karena pembagian adalah pengurangan berulang. Fakta menunjukkan bahwa operasi pengurangan benar-benar sulit bagi siswa. Misalnya untuk mengerjakan soal-soal berikut a. 43 – 7 = …. b. 102 – 89 = …. c. 2000 – 789 = …. Di kelas-kelas matematika, guru biasanya mengajarkan pengurangan bersusun dan menggunakan istilah “pinjam” atau “hutang”. Hal ini tanpa disadari mengajari anak untuk “berhutang” dan “meminjam”. Guru tidak mengajari anak untuk memberi atau bersedekah. Padahal dengan cara memberi atau shadaqah, pengerjaan operasi pengurangan akan lebih mudah. Perhatikan contoh berikut. a. 43 – 7 = (43 + 3) – (7 + 3) [Kedua bilangan sama-sama diberi 3] = 46 – 10 = 36 b. 102 – 89 = (102 + 1) – (89 + 1) [Kedua bilangan sama-sama diberi 1] = 103 – 90 = 13 Atau 102 – 89 = (102 + 11) – (89 + 11) [Kedua bilangan diberi 11] = 113 – 100 = 13 c. 2000 – 789 = (2000 + 11) – (789 + 11) = 2011 – 800 = 1211 Bagaimana? Bukankah lebih mudah dengan cara shadaqah daripada meminjam atau berhutang. Silahkan coba di kelas Anda.(abdussakir.wordpress.com)
ADA dua bilangan, jika bilangan itu dijumlahkan hasilnya sama dengan 8 dan jika dikalikan hasilnya sama dengan 105. dapatkah kamu menemukan kedua bilangan tersebut?
ADA dua bilangan, jika bilangan itu dijumlahkan hasilnya sama dengan 8 dan jika dikalikan hasilnya sama dengan 105. dapatkah kamu menemukan kedua bilangan tersebut?
Abad pertengahan adalah abad antara jatuhnya romawi ke tangan bangsa Bar bar jerman pada tahun 476 M, hingga pemerintahan turki ustmani menaklukkan konstantinopel pada tahun 1453 M. secara singkat, barang kali masa ini adalah masa tahun 500 M hingga tahun 1500 M, dan ini merupakan abad kegelapan (the dark age) bagi bangsa eropa. Sedangkan bagi dunia islam, masa ini merupakan masa keemasan dan kejayaan,MERDEKA!!!!
Deret tak berhingga berbentuk c0 + c1x + c2x2 + …+ cn-1xn-1 + … (1) dan c0 + c1 (x – a) + c2 (x – a)2 + …+ cn-1 (x – a)n-1 + … (2) dimana a, c0, c1, ca,… adalah konstanta. Disebut sebagai deret pangkat (power series). Deret yang pertama disebut deret pangkat dalam x dan yang kedua disebut deret pangkat dalam (x – a). deret pangkat (1) konvergen untuk x = 0 dan deret (2) konvergen untuk x = a. kedua deret tersebut mungkin konvergen untuk nilai x yang lain tetapi tidak selalu untuk semua nilai terhingga dari x, permasalahan yang kita hadapi adalah mencari, untuk suatu deret pangkat yang diketahui, semua nilai x yang membuat deret tersebut menjadi deret konvergen. Dalam menentukan himpunan nilai x ini, yang kita sebut interval konvergensi dari deret, uji rasio umum kita gunakan.
Misalkan ada deret yang beberapa sukunya positif dan beberapa negative. Misalkan Lim |sn + 1| / |sn| = R Deret tersebut konvergen absolute jika R< 1 dan divergen jika R>1. jika R = 1. uji ini gagal.
Jika, dalam suatu deret bersuku positif, rasio uji rn = sn+1 / sn mendekati suatu limit R dan n sampai tak hingga, deret tersebut akan konvergen jika R< 1 dan divergen jika R>1, uji ini gagal dalam menunjukkan konvergensi atau divergensi.
Deret s1 + s2 + s3 + …+ sn + … dimana beberapa sukunya positif dan beberapa negative disebut konvergen absolute jika deret nilai absolute dari suku-sukunya |s1| + |s2| + |s3| + …+ |sn| + … Merupakan deret konvergen..
Suatu deret yang suku-sukunya berubah-ubah positif dan negative, seperti s1 – s2 + s3 - … + (-1)n-1 sn + … dimana setiap s adalah positif, disebut deret berubah tanda (alternating series). Deret benrubah tanda konvergen dengan syarat sn lebih besar sama dengan sn+1 , untuk setiap nilai n, dan lim n mendekati tak hingga sn= 0.
Kemarin sudah saya jelaskan tentang deret(ingatkan!!!!!!!!!!!), suatu deret yang semua sukunya negative dapat diperlakukan sebagai negative dari suatu deret yang semua sukunya positif….
Deret yang sukunya positif dan beberapa negative disebut konvergen bersyarat (conditionally convergent) jika deret ini konvergen tetapi deret nilai absolute dari suku-sukunya merupakan deret divergen Contoh Deret 1 – ½ + 1/3 – ¼ + … adalah konvergen, tapi deret nilai absolute dari suku-sukunya 1 + ½ + 1/3 + ¼ + … adalah deret divergen. Jadi deret tersebut adalah deret konvergen bersyarat.
Progesi geometri adalah suatu barisan dimana setiap suku setelah suku pertama dapat diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tertentu, disebut rasio. Barisan 3, 6, 12, 24, 48, 96 jika a adalah suku pertama, r adalah rasio dan n adalah banyaknya suku, maka progesi geometrinya adalah a, ar, ar2, …, arn – 1 jadi, suku terakhir (atau suku terakir ke-n) L diperoleh dari L = arn – 1 jumlah S dari n suku pertama pada progesi geometri a, ar, ar2, …, arn – 1 diperoleh dari S = a – rL / 1 – r atau S = a(L – rn) / 1- r
Porogesi aritmatika adalah suatu barisan dimana setiap suku setelah suku pertama dapat diperoleh dengan cara menambahkan suatu jumlah tertentu disebut beda, pada suku dsepannya, jika a adalah suku pertama, d adalah beda dan n adalah banyaknya suku pada suatu progesi aritmatika, suku-sukunya secara berurutan adalah a, a + d, a + 2d, a + 3d, …, a + (n – 1) d jadi suku terakir (atau suku ke-n) 1 diperoleh dari 1= n + (n – 1) d Jumlah S dari n suku pada progesi ini diperoleh dari S = n/2 (a + 1) atau S = n/2 [2a + (n – 1) d]
Induksi matematis atau induksi sempurna adalah suatu jenis penalaran dimana kesimpulan-kesimpulannya, seperti kesimpulan yang diambil dalam contoh-contoh harus bisa dibuktikan benar atau salahnya… Langkah-langkahnya 1. Verifikasi (pembuktian) dari rumus atau teorema yang diajukan untuk suatu nilai bilangan bulat positif n, biasanya yang terkecil (tentu saja, kita tidak akan berusaha membuktikan suatu teorema yang tidak kenal dengan induksi matematis sebelum terlebih dahulu memverifilasinya untuk beberapa nilai n). 2. pembuktian bahwa jika rumus atau teorema yang diajukan itu benar untuk n = k, suatu bilangan bulat positif, maka rumus atau teorema tersebut juga benar untuk n = k + 1 3. kesimpulan bahwa rumus atau teorema yang diajukan benar untuk semua nilai n yang lebih besar dari pada nilai n yang digunakan dalam verifikasi pada langkah 1
Humlah dari suku-suku suatu barisan berhingga atau tak berhingga disebut deret berhingga atau tak berhingga. Jumlah progesi aritmatika dan jumlah progesi geometri. Tentu saja kita tidak mungkin menambahkan semua suku dari deret tak berhingga dengan kata lain, sesuai arti umum dari kata jumlah, tidak ada yang namanya jumlah dari deret semacam itu. Namun demikian, kita mungkin saja mengaitkan deret tak berhingga tertentu dengan suatu bilangan yang terdefinisikan dengan baik, yang untuk mudahnya, kita sebut sebagai jumlah dari deret tersebut…….
Jika perbandingan untuk konvergensi pada suatu deret bersuku positif 1. jika setiap suku pada suatu deret bersuku positif lebih kecil atau sama dengan suku yang bersesuaian dari suatu deret yang diketahui bersifat konvergen dari suatu titik pada deret ini, maka deret yang pertama bersifat konvergen. 2. jika setiap suku pada suatu deret bersuku positif sama atau lebih besar dari pada suku yang bersesuaian dari suatu deret yang diketahui bersifat konvergen dari suatu titik pada deret ini, deret yang pertama bersifat divergen.
Tanda positif (+) dan negatif (-) telah dikenalkan kedunia barat oleh matematikawn islam. Demikian juga dengan tanda perkalian (x) juga diturunkan oleh mereka. Semua symbol dalam aljabar ditentukan oleh ilmuwan muslim, mereka juga menggunakan symbol sebagai perwakilan terhadap sesuatu yang “belum diketahui”, symbol akar kuadrat dari, tidak lain adalah proses “latinization” dari huruf arab “jim” yang sering di gunakan sebagai ssimbol oleh Al-Khwarizmi dan ilmuwan Arab lain, ketika mencari akar dua dari….
Suatu variable y dikatakan bervariasi (berubah) secara lurus terhadap suatu variable lain x (atau y sebanding atau proposional dengan x) jika y sama dengan suatu konstanta c kali x, dengan kata lain, jika y = cx Suatu variable y dikatakan bervariasi (berubah) secara terbalik terhadap suatu variable lain x jika y berubah secara lurus terhadap kebalikan dari x, dengan kata lain, jika y = c/x Variable 2 dikatakan bervariasi (berubah) secara bersama-sama terhadap x dan y jika 2 bervariasi secara lurus terhadap hasil kali xy, dengan kata lain jika z = cxy..
Harga mutlak atau modulus dari suatu bilangan dalam matematika adalah bilangan itu sendiri tanpa memperhatikan tandanya (selalu positif). Harga mutlak dari bilangan n dituliskan sebagai |n| Sebagai contoh, bilangan – 5 dan 5 memiliki harga mutlak yang sama. Contoh | - 5 | = 5 , jadi | - 5 | = | 5 | = 5
Dalam suatu proses yang disebut dengan pembagian sintetik, perhatikan yang perlu dilakukan dalam membagi polynomial f(x) dengan x = h dapat ditulis dalam tiga baris, proses tersebut adalah sebagai berikut: 1. Atur pembilang dari f(x) dengan urutan pangkat x yang menurun (seperti biasanya dalam pembagian) dan tuliskan koefisien-koefisiennya pada baris pertama, tuliskan nol sebagai koefisien dari suku yang tidak ada 2. tempatkan h, pembagi sintetik, dalam baris pertama disebelah kanan koefisien-koefisien 3. tulis ulang koefisien terdepan ans pada baris ketiga tepat dibawah h 4. kalikan a0 dengan h, tempatkan hasilkali a0h dalam baris kedua di bawah a1 (dalam baris pertama), tambahkan pada a1, dan tempatkan jumlah a0h + a1 dalam baris ketiga dibawah a1 5. lakukan jumlah pada langkah 4 dengan h; tempatkan hasil kalinya dalam baris kedua di bawah a2, tambahkan pada a2, dan tempatkan jumlahnya dalam baris ketiga dibawah a2 6. ulangi proses pada langkah 5 sampai sebuah hasilkali telah ditambahkan pada suku konstan an. sebanyak n bilangan pertama dalam baris ketiga adalah koefisien-koefisien dari hasil bagi, yang merupakan polynomial berderajat n – 1 , dan bilangan terakhir pada baris ketiga adalah sebuah f(h).
Suatu bilangan real L disebut sebgai limit atas (upper limit) untuk akar-akar real dari f(x) = 0 jika tidak ada akar (real) yang lebih besar dari pada L, suatu bilangan real l disebut sebgai limit bawah jika tidak ada akar (real) yang lebih kecil dari pada l Jika L > 0 dan jika, ketika f(x) dibagi dengan X – L melalui pembagian sintetik, setiap bilangan pada baris ketiga bukanlah bilangan negative, maka L merupakan limit atas dari akar-akar real dari f(x) = 0 Jika L < 0 dan jika, ketika f(x) dibagi dengan X – l melalui pembagian sintetik, bilangan-bilangan pada baris ketiga berganti-ganti tanda, maka l merupakan limit bawah dari akar-akar real dari f(x) = 0
Mula-mula kita membagi sebuah lingkaran menjadi 360 buah sudut pusat yang sama besarnya. Sebuah sudut pusat itulah yang kita pergunakan sebagai satuan untuk mengukur besarnya sudut, dinamakan satu derajat dan diberi lambing 10, sudut yang besarnya 10 masih dapat dibagi menjadi 60 bagian yang sama besar, satu bagiannya yang sama besar. Satu bagiannya itu disebut satu menit dan biberi nama 1’, demikian pula sudut yang besarnya 1’ masih dapat dibagi lagi menjadi 60 bagian yang sama besar. Satu bagian itu dinamakan satu detik dan diberi kambang 1”. 10 = 60 ‘ = 360 “.
Banyaknya akar positif dari persamaan polynomial f(x) = 0, dengan koefisien real, bisa sama dengan banyaknya variasi tanda dalam f(x) atau bisa juga sama dengan banyaknya variasi tanda tadi dikurangi suatu bilangan genap. Banyaknya akar negatif dari f(x) = 0 sama dengan banyaknya akar positif dan f(- x) = 0 Contoh Perhatikan polynomial p(-x) = 2x2 + x – 4, p(x) mempunyai satu variasi tanda (dari + ke - ), p(- x) = 2x2 + x – 4 mempunyai satu variasi tanda (dari + ke - ) aturan Descartes mengatakan bahwa akan terdapat satu nol positif [ satu variasi tanda untuk p(x)] dan satu nol negatif [satu variasi tanda untuk p(-x)]
Garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran disuatu titik dan tegak lurus dengan jari-jari atau diameter yang melalui titik singgungnya.. Pada gambar di atas - garis MN adalah garis singgung lingkaran - titik M adalah titik singgung lingkaran - garis OM adalah jari-jari lingkaran - garis MN tegak lurus OM, sehingga sudut OMN merupakan sudut siku-siku - dua garis singgung lingkaran (garis MN dan PN) yang melalui satu titik diluar lingkaran (titik N), memiliki panjang yang sama, panjang MN = panjang PN - segi empat OMNP disebut sebagai laying-layang garis singgung lingkaran
Persamaan polynomial mempunyai akar 0 jika dan hanya jika suku konstanta dari persamaan tersebul adalah nol. Jika pecahan rasional p/q, dinyatakan dalam suku terendah, merupakan akar dari persamaan polynomial dimana didalam persamaan ini a tidak sama dengan 0, maka P merupakan pembagi dari suku konstanta an dan q merupakan pembagi dari koefisien utama dari a0. Jika P, suatu bilangan bulat, merupakan akar persamaan polynomial maka P merupakan pembagi dari suku konstantanya Permasalahan utama pada subbab ini adalah bagaimana cara kita memperoleh akar-akar rasional dari persamaan polynomial yang diketahui, prosedur umumnya adalah ujilah akar-akar rasional yang mungkin dengan pembagian sintetik, diterima sebagai akar jika bilangan terakir dalam baris ketiganya adalah nol dan tolak sebagai akar jika tidak demikian.
Pengelana matematika yang pengen bagi2 ilmu matematika ke siapa saja. dan sangat berharap bisa bermanfaat dan berguna bagi sahabat-sahabati matematikawan di seluruh dunia, untuk info lebih lanjut hub email:oktacoffelogica@gmail.com