Selisih dua himpunan A dan B adalah himpunan yang elemen-elemennya menjadi anggota himpunan A dan bukan himpunan B.atau…

Contoh
Jika A ={1.2.3} dan B ={2.3.4}
Maka selisih himpunan A dan Himpunan B adalah {1}

Gabungan (union) dua himpunan A dan B adalah elemen-elemen yang menjadi anggota A saja atau menjadi anggota B saja atau sekaligus menjadi anggota A dan B atauuu

Contoh
Jika A = {1.2.3} dan B = {4.2.1}
Maka gabungan Hmpunan A dan Himpunan B adalah {1.2.3.4}

Selisih dua himpunan A dan B adalah himpunan yang elemen-elemennya menjadi anggota himpunan A dan bukan himpunan B.atau…

Contoh
Jika A ={1.2.3} dan B ={2.3.4}
Maka selisih himpunan A dan Himpunan B adalah {1}

Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika setiap elemen himpunan B dan sebaliknya jika himpunan A sama dengan himpunan B, maka banyaknya elemen {anggota} dan himpunan A selalu sama dengan banyaknya elemen himpunan B. dalam penulisan suatu himpunan, urutan tidak diperhatikan.
Contoh
Jika A = {a,b,c,d} dan B = {b,d,c,a}
Maka himpunan A sama dengan himpunan B

Dua himpunan A dan B dikatkan ekivalen atau sederajad, jika banyaknya anggota (elemen) himpunan A sama dengan banyaknya anggota (elemen) himpunan B
Contoh
Himpunan A = {a,b,c} maka n (A) = 3
Himpunan B = {1,2,3} maka n (B) = 3
Maka Himpunan A Ekivalen dengan Himpunan B

Setiap elemen dari suatu himpunan harus memenuhi syarat keanggotaan sebagai berikut:
1. Harus dapat dibedakan antara benda yang satu dengan yang lain didalam himpunan tersebut
2. Harus dapat dibedakan antara benda yang menjadi anggota himpunan tersebut dengan benda yang bukan anggota tersebut
3. Harus ada hubungan yang nyata antara sesame anggota himpunan tersebut.

Sebelum kita bahas tentang himpunan semesta, alangkah baiknya kita lebih dahulu mengetahui pengertian himpunan. Himpunan adalah kumpulan suatu objek-objek yang mempunyai syarat keanggotaan dan terdefinisi dengan jelas..
Misalnya
-Himpunan nama-nama bulan
Januari, februari, maret, april dan lain-lain…
Sedangkan himpunan semesta adalah himpunan dari semua elemen yang sedang dibicarakan.
Misalnya
-Bila kita bicara tentang januari, februari, maret, maka Nama Bulan dapat di anggap sebagai himpunan semesta..

Rasulullah SAW bersabda bahwa “tangan di atas lebih baik daripada tangan di bawah”. Para ulama sepakat memberikan pemaknaan bahwa “memberi adalah lebih baik daripada meminta”. Memberi tentunya mempunyai pengertian yang begitu luas, memberi harta, memberi makan, memberi ilmu, memberi kesenangan, dan memberi hal-hal yang lain yang tidak bertentangan dengan syari’at Islam. Memberi dalam Islam seringkali identik dengan kata shadaqah, meskipun tidak sepenuhnya sama. Memberi tidak selamanya merupakan shadaqah, tetapi shadaqah pasti memberi. Berikut ini akan penulis coba ilustrasikan bagaimana shadaqah dapat diaplikasikan dalam operasi pengurangan.
Secara matematik, urutan operasi hitung dasar adalah (1) penjumlahan, (2) pengurangan, (3) perkalian, dan (4) pembagian. Namun, secara psikologis, urutan itu adalah (1) penjumlahan, (2) perkalian, (3) pengurangan, dan (4) pembagian. Mengapa? Karena penjumlahan adalah yang paling mudah bagi siswa. Penjumlahan berulang adalah perkalian, sehingga perkalian menempati urutan kedua. Pengurangan pada urutan berikutnya, meskipun sebenarnya secara matematika, pengurangan adalah operasi balikan (inverse) dari penjumlahan. Lalu pembagian, karena pembagian adalah pengurangan berulang.
Fakta menunjukkan bahwa operasi pengurangan benar-benar sulit bagi siswa. Misalnya untuk mengerjakan soal-soal berikut
a. 43 – 7 = ….
b. 102 – 89 = ….
c. 2000 – 789 = ….
Di kelas-kelas matematika, guru biasanya mengajarkan pengurangan bersusun dan menggunakan istilah “pinjam” atau “hutang”. Hal ini tanpa disadari mengajari anak untuk “berhutang” dan “meminjam”. Guru tidak mengajari anak untuk memberi atau bersedekah. Padahal dengan cara memberi atau shadaqah, pengerjaan operasi pengurangan akan lebih mudah. Perhatikan contoh berikut.
a. 43 – 7 = (43 + 3) – (7 + 3) [Kedua bilangan sama-sama diberi 3]
= 46 – 10
= 36
b. 102 – 89 = (102 + 1) – (89 + 1) [Kedua bilangan sama-sama diberi 1]
= 103 – 90
= 13
Atau
102 – 89 = (102 + 11) – (89 + 11) [Kedua bilangan diberi 11]
= 113 – 100
= 13
c. 2000 – 789 = (2000 + 11) – (789 + 11)
= 2011 – 800
= 1211
Bagaimana? Bukankah lebih mudah dengan cara shadaqah daripada meminjam atau berhutang. Silahkan coba di kelas Anda.(abdussakir.wordpress.com)

ADA dua bilangan, jika bilangan itu dijumlahkan hasilnya sama dengan 8 dan jika dikalikan hasilnya sama dengan 105. dapatkah kamu menemukan kedua bilangan tersebut?

ADA dua bilangan, jika bilangan itu dijumlahkan hasilnya sama dengan 8 dan jika dikalikan hasilnya sama dengan 105. dapatkah kamu menemukan kedua bilangan tersebut?

Abad pertengahan adalah abad antara jatuhnya romawi ke tangan bangsa Bar bar jerman pada tahun 476 M, hingga pemerintahan turki ustmani menaklukkan konstantinopel pada tahun 1453 M. secara singkat, barang kali masa ini adalah masa tahun 500 M hingga tahun 1500 M, dan ini merupakan abad kegelapan (the dark age) bagi bangsa eropa. Sedangkan bagi dunia islam, masa ini merupakan masa keemasan dan kejayaan,MERDEKA!!!!

Deret tak berhingga berbentuk
c0 + c1x + c2x2 + …+ cn-1xn-1 + … (1)
dan c0 + c1 (x – a) + c2 (x – a)2 + …+ cn-1 (x – a)n-1 + … (2)
dimana a, c0, c1, ca,… adalah konstanta. Disebut sebagai deret pangkat (power series). Deret yang pertama disebut deret pangkat dalam x dan yang kedua disebut deret pangkat dalam (x – a).
deret pangkat (1) konvergen untuk x = 0 dan deret (2) konvergen untuk x = a. kedua deret tersebut mungkin konvergen untuk nilai x yang lain tetapi tidak selalu untuk semua nilai terhingga dari x, permasalahan yang kita hadapi adalah mencari, untuk suatu deret pangkat yang diketahui, semua nilai x yang membuat deret tersebut menjadi deret konvergen. Dalam menentukan himpunan nilai x ini, yang kita sebut interval konvergensi dari deret, uji rasio umum kita gunakan.

Misalkan ada deret yang beberapa sukunya positif dan beberapa negative. Misalkan
Lim |sn + 1| / |sn| = R
Deret tersebut konvergen absolute jika R< 1 dan divergen jika R>1. jika R = 1. uji ini gagal.

Jika, dalam suatu deret bersuku positif, rasio uji
rn = sn+1 / sn
mendekati suatu limit R dan n sampai tak hingga, deret tersebut akan konvergen jika R< 1 dan divergen jika R>1, uji ini gagal dalam menunjukkan konvergensi atau divergensi.

Deret s1 + s2 + s3 + …+ sn + … dimana beberapa sukunya positif dan beberapa negative disebut konvergen absolute jika deret nilai absolute dari suku-sukunya
|s1| + |s2| + |s3| + …+ |sn| + …
Merupakan deret konvergen..

Suatu deret yang suku-sukunya berubah-ubah positif dan negative, seperti
s1 – s2 + s3 - … + (-1)n-1 sn + …
dimana setiap s adalah positif, disebut deret berubah tanda (alternating series). Deret benrubah tanda konvergen dengan syarat sn lebih besar sama dengan sn+1 , untuk setiap nilai n, dan lim n mendekati tak hingga sn= 0.

Kemarin sudah saya jelaskan tentang deret(ingatkan!!!!!!!!!!!), suatu deret yang semua sukunya negative dapat diperlakukan sebagai negative dari suatu deret yang semua sukunya positif….

Deret yang sukunya positif dan beberapa negative disebut konvergen bersyarat (conditionally convergent) jika deret ini konvergen tetapi deret nilai absolute dari suku-sukunya merupakan deret divergen
Contoh
Deret 1 – ½ + 1/3 – ¼ + … adalah konvergen, tapi deret nilai absolute dari suku-sukunya 1 + ½ + 1/3 + ¼ + … adalah deret divergen. Jadi deret tersebut adalah deret konvergen bersyarat.

Progesi geometri adalah suatu barisan dimana setiap suku setelah suku pertama dapat diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tertentu, disebut rasio. Barisan 3, 6, 12, 24, 48, 96 jika a adalah suku pertama, r adalah rasio dan n adalah banyaknya suku, maka progesi geometrinya adalah
a, ar, ar2, …, arn – 1
jadi, suku terakhir (atau suku terakir ke-n) L diperoleh dari L = arn – 1
jumlah S dari n suku pertama pada progesi geometri a, ar, ar2, …, arn – 1
diperoleh dari S = a – rL / 1 – r atau S = a(L – rn) / 1- r

Porogesi aritmatika adalah suatu barisan dimana setiap suku setelah suku pertama dapat diperoleh dengan cara menambahkan suatu jumlah tertentu disebut beda, pada suku dsepannya, jika a adalah suku pertama, d adalah beda dan n adalah banyaknya suku pada suatu progesi aritmatika, suku-sukunya secara berurutan adalah
a, a + d, a + 2d, a + 3d, …, a + (n – 1) d
jadi suku terakir (atau suku ke-n) 1 diperoleh dari
1= n + (n – 1) d
Jumlah S dari n suku pada progesi ini diperoleh dari
S = n/2 (a + 1) atau S = n/2 [2a + (n – 1) d]

Induksi matematis atau induksi sempurna adalah suatu jenis penalaran dimana kesimpulan-kesimpulannya, seperti kesimpulan yang diambil dalam contoh-contoh harus bisa dibuktikan benar atau salahnya…
Langkah-langkahnya
1. Verifikasi (pembuktian) dari rumus atau teorema yang diajukan untuk suatu nilai bilangan bulat positif n, biasanya yang terkecil (tentu saja, kita tidak akan berusaha membuktikan suatu teorema yang tidak kenal dengan induksi matematis sebelum terlebih dahulu memverifilasinya untuk beberapa nilai n).
2. pembuktian bahwa jika rumus atau teorema yang diajukan itu benar untuk n = k, suatu bilangan bulat positif, maka rumus atau teorema tersebut juga benar untuk n = k + 1
3. kesimpulan bahwa rumus atau teorema yang diajukan benar untuk semua nilai n yang lebih besar dari pada nilai n yang digunakan dalam verifikasi pada langkah 1

Humlah dari suku-suku suatu barisan berhingga atau tak berhingga disebut deret berhingga atau tak berhingga. Jumlah progesi aritmatika dan jumlah progesi geometri. Tentu saja kita tidak mungkin menambahkan semua suku dari deret tak berhingga dengan kata lain, sesuai arti umum dari kata jumlah, tidak ada yang namanya jumlah dari deret semacam itu. Namun demikian, kita mungkin saja mengaitkan deret tak berhingga tertentu dengan suatu bilangan yang terdefinisikan dengan baik, yang untuk mudahnya, kita sebut sebagai jumlah dari deret tersebut…….

Jika perbandingan untuk konvergensi pada suatu deret bersuku positif
1. jika setiap suku pada suatu deret bersuku positif lebih kecil atau sama dengan suku yang bersesuaian dari suatu deret yang diketahui bersifat konvergen dari suatu titik pada deret ini, maka deret yang pertama bersifat konvergen.
2. jika setiap suku pada suatu deret bersuku positif sama atau lebih besar dari pada suku yang bersesuaian dari suatu deret yang diketahui bersifat konvergen dari suatu titik pada deret ini, deret yang pertama bersifat divergen.

Tanda positif (+) dan negatif (-) telah dikenalkan kedunia barat oleh matematikawn islam. Demikian juga dengan tanda perkalian (x) juga diturunkan oleh mereka. Semua symbol dalam aljabar ditentukan oleh ilmuwan muslim, mereka juga menggunakan symbol sebagai perwakilan terhadap sesuatu yang “belum diketahui”, symbol akar kuadrat dari, tidak lain adalah proses “latinization” dari huruf arab “jim” yang sering di gunakan sebagai ssimbol oleh Al-Khwarizmi dan ilmuwan Arab lain, ketika mencari akar dua dari….

Suatu variable y dikatakan bervariasi (berubah) secara lurus terhadap suatu variable lain x (atau y sebanding atau proposional dengan x) jika y sama dengan suatu konstanta c kali x, dengan kata lain, jika y = cx
Suatu variable y dikatakan bervariasi (berubah) secara terbalik terhadap suatu variable lain x jika y berubah secara lurus terhadap kebalikan dari x, dengan kata lain, jika y = c/x
Variable 2 dikatakan bervariasi (berubah) secara bersama-sama terhadap x dan y jika 2 bervariasi secara lurus terhadap hasil kali xy, dengan kata lain jika z = cxy..

Harga mutlak atau modulus dari suatu bilangan dalam matematika adalah bilangan itu sendiri tanpa memperhatikan tandanya (selalu positif). Harga mutlak dari bilangan n dituliskan sebagai |n|
Sebagai contoh, bilangan – 5 dan 5 memiliki harga mutlak yang sama.
Contoh | - 5 | = 5 , jadi | - 5 | = | 5 | = 5

Dalam suatu proses yang disebut dengan pembagian sintetik, perhatikan yang perlu dilakukan dalam membagi polynomial f(x) dengan x = h dapat ditulis dalam tiga baris, proses tersebut adalah sebagai berikut:
1. Atur pembilang dari f(x) dengan urutan pangkat x yang menurun (seperti biasanya dalam pembagian) dan tuliskan koefisien-koefisiennya pada baris pertama, tuliskan nol sebagai koefisien dari suku yang tidak ada
2. tempatkan h, pembagi sintetik, dalam baris pertama disebelah kanan koefisien-koefisien
3. tulis ulang koefisien terdepan ans pada baris ketiga tepat dibawah h
4. kalikan a0 dengan h, tempatkan hasilkali a0h dalam baris kedua di bawah a1 (dalam baris pertama), tambahkan pada a1, dan tempatkan jumlah a0h + a1 dalam baris ketiga dibawah a1
5. lakukan jumlah pada langkah 4 dengan h; tempatkan hasil kalinya dalam baris kedua di bawah a2, tambahkan pada a2, dan tempatkan jumlahnya dalam baris ketiga dibawah a2
6. ulangi proses pada langkah 5 sampai sebuah hasilkali telah ditambahkan pada suku konstan an.
sebanyak n bilangan pertama dalam baris ketiga adalah koefisien-koefisien dari hasil bagi, yang merupakan polynomial berderajat n – 1 , dan bilangan terakhir pada baris ketiga adalah sebuah f(h).

Suatu bilangan real L disebut sebgai limit atas (upper limit) untuk akar-akar real dari f(x) = 0 jika tidak ada akar (real) yang lebih besar dari pada L, suatu bilangan real l disebut sebgai limit bawah jika tidak ada akar (real) yang lebih kecil dari pada l
Jika L > 0 dan jika, ketika f(x) dibagi dengan X – L melalui pembagian sintetik, setiap bilangan pada baris ketiga bukanlah bilangan negative, maka L merupakan limit atas dari akar-akar real dari f(x) = 0
Jika L < 0 dan jika, ketika f(x) dibagi dengan X – l melalui pembagian sintetik, bilangan-bilangan pada baris ketiga berganti-ganti tanda, maka l merupakan limit bawah dari akar-akar real dari f(x) = 0

Mula-mula kita membagi sebuah lingkaran menjadi 360 buah sudut pusat yang sama besarnya. Sebuah sudut pusat itulah yang kita pergunakan sebagai satuan untuk mengukur besarnya sudut, dinamakan satu derajat dan diberi lambing 10, sudut yang besarnya 10 masih dapat dibagi menjadi 60 bagian yang sama besar, satu bagiannya yang sama besar. Satu bagiannya itu disebut satu menit dan biberi nama 1’, demikian pula sudut yang besarnya 1’ masih dapat dibagi lagi menjadi 60 bagian yang sama besar. Satu bagian itu dinamakan satu detik dan diberi kambang 1”. 10 = 60 ‘ = 360 “.

Banyaknya akar positif dari persamaan polynomial f(x) = 0, dengan koefisien real, bisa sama dengan banyaknya variasi tanda dalam f(x) atau bisa juga sama dengan banyaknya variasi tanda tadi dikurangi suatu bilangan genap. Banyaknya akar negatif dari f(x) = 0 sama dengan banyaknya akar positif dan f(- x) = 0
Contoh
Perhatikan polynomial p(-x) = 2x2 + x – 4, p(x) mempunyai satu variasi tanda (dari + ke - ), p(- x) = 2x2 + x – 4 mempunyai satu variasi tanda (dari + ke - ) aturan Descartes mengatakan bahwa akan terdapat satu nol positif [ satu variasi tanda untuk p(x)] dan satu nol negatif [satu variasi tanda untuk p(-x)]

Garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran disuatu titik dan tegak lurus dengan jari-jari atau diameter yang melalui titik singgungnya..
Pada gambar di atas
- garis MN adalah garis singgung lingkaran
- titik M adalah titik singgung lingkaran
- garis OM adalah jari-jari lingkaran
- garis MN tegak lurus OM, sehingga sudut OMN merupakan sudut siku-siku
- dua garis singgung lingkaran (garis MN dan PN) yang melalui satu titik diluar lingkaran (titik N), memiliki panjang yang sama, panjang MN = panjang PN
- segi empat OMNP disebut sebagai laying-layang garis singgung lingkaran

Persamaan polynomial mempunyai akar 0 jika dan hanya jika suku konstanta dari persamaan tersebul adalah nol.
Jika pecahan rasional p/q, dinyatakan dalam suku terendah, merupakan akar dari persamaan polynomial dimana didalam persamaan ini a tidak sama dengan 0, maka P merupakan pembagi dari suku konstanta an dan q merupakan pembagi dari koefisien utama dari a0.
Jika P, suatu bilangan bulat, merupakan akar persamaan polynomial maka P merupakan pembagi dari suku konstantanya
Permasalahan utama pada subbab ini adalah bagaimana cara kita memperoleh akar-akar rasional dari persamaan polynomial yang diketahui, prosedur umumnya adalah ujilah akar-akar rasional yang mungkin dengan pembagian sintetik, diterima sebagai akar jika bilangan terakir dalam baris ketiganya adalah nol dan tolak sebagai akar jika tidak demikian.