lama ga ngeblok bingung mau nulis apa?

Santai Senyum Semangat Sabar

Sifat-sifat yang dimiliki oleh sebuah sistem aljabar nantinya ditentukan oleh sifat-sifat yang dimiliki oleh setiap operasi di dalam sistem aljabar tersebut. Berikut akan diuraikan sifat-sifat yang dapat dimiliki oleh sebuah operasi biner.
Misalkan  dan  adalah operasi biner. Operasi  dikatakan :
-. KOMUTATIF , jika a  b = b  a, untuk setiap a, b.
-. ASOSIATIF, jika (a  b)  c = a  (b  c), untuk setiap a, b, c.
-. Mempunyai :
IDENTITAS, jika terdapat e sedemikian hingga a  e = e  a = a, untuk setiap a.
IDENTITAS KIRI, jika terdapat e1 sedemikian hingga e1  a = a, untuk setiap a.
IDENTITAS KANAN, jika terdapat e2 sedemikian hingga a  e2 = a, untuk setiap
-. Mempunyai sifat INVERS, jika untuk setiap a terdapat a-1 sedemikian hingga a  a-1 = a-1  a = e, dimana e adalah elemen identitas untuk operasi . a-1 disebut invers dari elemen a.
-. DISTRIBUTIF terhadap operasi  , jika untuk setiap a, b, c berlaku a  (b  c ) = ( a  b)  (a  c) dan (b  c )  a = ( b  a)  (c  a).

Contoh 1.2.
Operasi biner penjumlahan biasa adalah sebuah operasi yang bersifat komutatif, karena untuk sembarang bilangan x dan y berlaku x+y = y+x. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, karena untuk sembarang x, y, z berlaku (x+y)+z = x+(y+z). Identitas untuk operasi penjumlahan adalah 0 (nol). Invers penjumlahan untuk sembarang bilangan p adalah –p, karena p+(-p)=0.

Contoh 1.3.
-. Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan, karena untuk setiap bilangan a, b dan c berlaku a x (b+c) = (a x b) + (a x c) dan (b + c) x a = (b x a) + (c x a).
-. Operasi penjumlahan tidak bersifat distributif terhadap operasi perkalian, karena terdapat p, q dan r dimana p + (q x r)  (p + q) x (p + r). Sebagai contoh 2 + (3 x 4)  (2 + 3) x (2 + 4). 



Himpunan S dikatakan tertutup terhadap terhadap operasi biner  , jika untuk setiap a, b  S berlaku a  b  S

Contoh 1.4.
-. Himpunan bilangan bulat Z tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa, karena untuk setiap x, y  Z berlaku x + y  Z.
-. Himpunan bilangan bulat Z tidak tertutup terhadap operasi pembagian biasa, karena terdapat 2, 3  Z dimana 2 : 3  Z. 

Soal Latihan 1.1.
1. Tunjukkan bahwa himpunan bilangan genap tertutup terhadap operasi penjumlahan.
2. Tunjukkan bahwa operasi penjumlahan bersifat asosiatif pada himpunan bilangan kelipatan 2.
3. Misalkan A adalah himpunan bilangan asli. Operasi biner  didefinisikan pada himpunan tersebut. Selidiki sifat asosiatif operasi biner yang didefinisikan sebagai berikut : [LIU]
a. a  b = a + b + 3.
b. a  b = a + b – 2ab.
c. a  b = a + 2b.
d. a  b = max (a,b).
4. Misalkan (A,) sebuah sistem aljabar dengan  operasi biner dimana untuk setiap a,b  A berlaku a  b = a. Tunjukkan bahwa  bersifat asosiatif. [LIU]
5. Operasi biner  didefinisikan pada himpunan C = {a, b, c, d, e} dalam tabel berikut :




a. Tentukan b  d, c  d dan (a  d)  c.
b. Apakah operasi  bersifat komutatif ?.
c. Tentukan (bila ada) elemen identitas untuk operasi .

Operasi biner pada himpunan tidak kosong S adalah pemetaan dari S x S kepada S. Notasi yang digunakan untuk menyatakan operasi biner adalah +, x, , • ,  ,  , dan sebagainya. Hasil dari sebuah operasi, misalnya  , pada elemen a dan b akan ditulis sebagai a  b.
Contoh 1.1.
Operasi berikut adalah beberapa contoh operasi biner :
-. Operasi pembagian pada bilangan riil.
-. Warna rambut anak yang ditentukan oleh warna rambut orang tuanya.
-. Operasi biner  yang didefinisikan sebagai a  b = a + b – 2ab.

Sebuah sistem dimana terdapat sebuah himpunan dan satu atau lebih dari satu operasi n-ary, yang didefinisikan pada himpunan tersebut, dinamakan sistem aljabar. Selanjutnya, sebuah sistem aljabar akan dinyatakan dengan (S,f1 ,f2 ,f3 ,...,fn) dimana S sebuah himpunan tidak kosong dan f1 , f2 , ...., fn operasi-operasi yang didefinisikan pada S. Sebagai contoh, (Z,+) adalah sebuah sistem aljabar yang dibentuk oleh himpunan bilangan bulat Z dan operasi penjumlahan biasa ; (Z,+,x) adalah sebuah sistem aljabar yang dibentuk oleh himpunan bilangan bulat dan dua buah operasi biner.
Sistem aljabar yang termasuk dalam pokok bahasan Matematika Diskrit yang akan diberikan adalah sistem aljabar satu operasi biner dan sistem aljabar dua operasi biner. Sebelum melihat jenis-jenis sistem aljabar dan konsep-konsep yang berkaitan dengannya, kita akan tinjau lebih dahulu operasi biner dan sifat-sifat operasi biner.

Apakah Matematika Diskrit Itu?



Rasa ingin tahu adalah ibu dari semua ilmu pengetahuan


Tak kenal maka tak sayang, tak sayang maka tak cinta


• Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit.

• Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Benda disebut diskrit jika:
- terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda
- elemen-elemennya tidak bersambungan
(unconnected).

Contoh: himpunan bilangan bulat (integer)

• Lawan kata diskrit: kontinyu atau menerus (continuous).
Contoh: himpunan bilangan riil (real)

• Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit.


• Matematika diskrit merupakan ilmu dasar dalam pendidikan informatika atau ilmu komputer.

• Matematika diskrit memberikan landasan matematis untuk kuliah-kuliah lain di informatika.
 algoritma, struktur data, basis data, otomata dan teori bahasa formal, jaringan komputer, keamanan komputer, sistem operasi, teknik kompilasi, dsb.

• Matematika diskrit adalah matematika yang khas informatika  Matematika Informatika.

• Materi-materi dalam matematika diskrit:
1. Logika (logic)
2. Teori Himpunan (set)
3. Matriks (matrice)
4. Relasi dan Fungsi (relation and function)
5. Induksi Matematik (mathematical induction)
6. Algoritma (algorithms)
7. Teori Bilangan Bulat (integers)
8. Barisan dan Deret (sequences and series)
9. Teori Grup dan Ring (group and ring)
10. Aljabar Boolean (Boolean algebra)
11. Kombinatorial (combinatorics)
12. Teori Peluang Diskrit (discrete probability)
13. Fungsi Pembangkit dan Analisis Rekurens
14. Teori Graf (graph – included tree)
15. Kompleksitas Algoritma (algorithm complexity)
16. Otomata & Teori Bahasa Formal (automata and formal language theory)

• Contoh-contoh persoalan matematika diskrit:
- berapa banyak kemungkinan jumlah password yang dapat dibuat dari 8 karakter?
- bagaimana nomor ISBN sebuah buku divalidasi?
- berapa banyak string biner yang panjangnya 8 bit yang mempunyai bit 1 sejumlah ganjil?
- bagaimana menentukan lintasan terpendek dari satu kota a ke kota b?
- buktikan bahwa perangko senilai n (n  8) rupiah dapat menggunakan hanya pernagko 3 rupiah dan 5 rupiah saja
- diberikan dua buah algoritma untuk menyelesaian sebuah persoalan, algoritma mana yang terbaik?
- bagaimana rangkaian logika untuk membuat peraga digital yang disusun oleh 7 buah batang (bar)?
- dapatkah kita melalui semua jalan di sebuah kompleks perubahan tepat hanya sekali dan kembali lagi ke tempat semula?
- “Makanan murah tidak enak”, “makanan enak tidak murah”. Apakah kedua pernyataan tersebut menyatakan hal yang sama?

• Moral dari cerita di atas: mahasiswa informatika harus memiliki pemahaman yang kuat dalam matematika diskrit, agar tidak mendapat kesulitan dalam memahami kuliah-kuliah lainnya di informatika.

• Perjalanan satu mil dimulai dari satu langkah.

Let’s go!

Indonesia selalu mengedepankan "Mencerdaskan kehidupan bangsa"..
tapi budaya yang ada di masyarakat saat ini, ato siswa khususnya baik siswa SD, SMP, SMA bahkan Mahasiswa smuanya suka menyontek, walaupun tidak semua.. tapi kebanyakan sperti itu,,
padahal ketika seseorang memberikan jawaban kepada temanya saat ujian, bukanlah bukanlah hal tepat untuk membantu temanya, justru akan membuat temannya makin tdak bisa dengan pelajaran yang sedang di ujikan,,karena akan membuat siswa tersebut akan malas untuk belajar karena sudah dapat jawaban dari setiap soal dari temennya tadi, sehingga ketika anda memberikan contohan ato contekan pada teman anda,, akan membawa dampak besar dalam kehidupan teman anda, karena akan membuat temen anda semakin ga bisa dan itu adalah kegiatan yang di larang oleh negara indonesia karena tidak sesuai dengan "Mencerdaskan kehidupan bangsa", jadi anda bukanlah warga negra yang baik, karena anda termasuk orang yg tidak mendukung program pemerintah indonesia,dan anda hrus siap du katakan sebagai bukan warga negara yang baik,,

Seseorang pernah menanyakan mengapa saya memilih jurusan Matematika pada tingkat sarjana. Motivasi saya sederhana, matematika memungkinkan saya tak perlu banyak belajar. Berbeda dengan biologi, kimia, sejarah, Pancasila dan beragam pelajaran lainnya yang membutuhkan ketekunan dalam menghabiskan lembar-lembar teks dan melakukan pengulangan agar teks tersebut terekam di kepala, matematika memungkinkan saya untuk tak melakukan semuanya jika sudah mengerti. Namun ketika saya mulai kuliah di matematika, prinsip itu ternyata tidak berlaku. Diperlukan waktu cukup banyak agar suatu materi dimengerti. Bahkan adakalanya menghapal rumus merupakan alasan yang masuk akan daripada menurunkan rumus yang bisa sampai berlembar-lembar.


Melihat kehidupan matematikawan rasanya pandangan awal saya ada benarnya. Di buku Kalkulus karangan Purcell tampak sebuah pola bagi kehidupan matematikawan yang umumnya berasal dari kalangan bangsawan. Memikirkan sesuatu yang tidak terkait langsung dengan permasalahan praksis sehari-hari merupakan sebuah kemewahan. Pola lain adalah matematikawan paruh waktu, seperti Fermat yang berprofesi sebagai ahli hukum. Hal yang menarik adalah keterkaitan antara matematika dan filsafat. Beberapa matematikawan, selain dikenal karena sumbangsihnya dalam dunia angka, juga dikenal sebagai filosof. Rene Descartes selain menyumbangkan bagian namanya untuk kurva Cartesian, juga dikenal sebagai Bapak filsafat modern. Dan dari sejarah filsafat, memang terlihat keterkaitan antara bangunan matematika dengan bagaimana manusia memandang alam dan dirinya sebagai bagian dari keseluruhan.

Adanya keterkaitan antara cara pandang matematikawan dengan penemuan-penemuan mereka membuat saya sadar bahwa bukan kecerdasan yang membuat mereka dapat merumuskan formula-formula canggih, melainkan bagaimana semuanya menyatu dalam kehidupan mereka. Waktu yang terus digunakan untuk berpikir. Tak masalah jika munculnya terasa ajaib seperti Archimedes di bak mandi atau Newton di bawah pohon apel.

Here is an interesting and lovely way to look at the beauty of mathematics, and of God, the sum of all wonders.

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 987 65
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

Perhatikan gambar berikut.

Apa yang dapat kalian simpulkan dari kedua gambar tersebut?
Apakah kedua gambar tersebut sebangun?
Ternyata kedua bangun tersebut memenuhi syarat kesebangunan
dua bangun datar atau ABCD ~ EFGH, sehingga
dipenuhi:
1) ∠ A = ∠ E, ∠ B = ∠ F, ∠ C = ∠ G, dan ∠ D = ∠H.
2)AB/EF=BC/FG=CD/GH=AD/EH= k
Pada gambar di atas nilai faktor skala k = 2
Contoh
Perhatikan gambar berikut

Diberikan segi empat KLMN dan segi empat PQRS, dengan
KLMN ~ PQRS. Hitunglah:
a. faktor skala k.
b. panjang QR dan MN.
Penyelesaian:
a. Karena KLM ~ PQRS maka kedua bangun tersebut
mempunyai hubungan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.
Berarti , dengan k faktor skala.
Diketahui KL = 45 cm dan PQ = 15 cm, artinya
Jadi faktor skala k = 3.
KL/PQ= k, dengan k faktor skala

diketahui KL = 45 cm dan PQ = 15 cm, artinya
KL / PQ = 45 / 15 = 3
Jadi faktor skala k = 3.
b. QR bersesuaian dengan LM. Karena dua bangun tersebut
mempunyai faktor skala k = 3 , maka LM / QR = 3
berarti QR = LM/3 = 51 cm / 3 = 17 cm
MN bersesuaian dengan RS. Karena dua bangun tersebut
mempunyai faktor skala k =3 , maka LM/RS = 3
Berarti
MN = 3RS = 3 × 9 cm = 27 cm.

Perhatikan bahwa trapesium ABCD = EFGH.

Tentukan panjang dan besar unsur-unsur yang belum
diketahui.
Penyelesaian:
Karena trapesium ABCD EF = GH, maka berlaku
hubungan sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
AB = CD = EF = GH = 5 cm
EH = BC = 4 cm
AD = FG = 9 cm
Demikian juga, karena trapesium ABCD EFGH, maka
berlaku hubungan sudut-sudut yang bersesuaian sama
besar.
∠ A = ∠ F = 60
∠ B = ∠ E = 130
∠ C = ∠ H = 100
∠ D = ∠ G = 70

Mari kita ingat kembali syarat dua bangun datar yang
kongruen. Dua bangun datar dikatakan kongruen jika dan hanya
jika memenuhi:
1) Sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar.
2) Sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama panjang.
Jika kita mempunyai dua bangun datar yang kongruen seperti
di bawah ini,

Maka unsur-unsur yang belum diketahui besar dan panjangnya
dapat dicari dengan memperhatikan syarat kekongruenan dua
bangun datar.
1) Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
Diketahui besar ∠ B = α, ∠ D = β, ∠ E = γ , ∠ G = θ.
Karena ABCD = EFGH maka besar ∠ A, ∠ C, ∠ F, dan
∠ H dapat dicari sebagai berikut.
∠ A = ∠ E → ∠ A = ∠ E = γ
∠ B = ∠ F → ∠ F = ∠ B = α
∠ C = ∠ G → ∠ C = ∠ G = θ
∠ D = ∠ H → ∠ H = ∠ D = β
2) Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang
Diketahui panjang AD = z, CD = x, EF = y, FG = t.
Karena ABCD = EFGH maka panjang AB, BC, GH, dan EH
dapat dicari sebagai berikut.
AB = EF → AB = EF = y
BC = FG → FG = BC = t
CD = GH → GH = CD = x
AD = EH → EH = AD = z

Pernahkah kalian melakukan pengamatan dengan
menggunakan mikroskop? Pada pembesaran tertentu, kita
dapat mengamati benda-benda yang sangat kecil ukurannya.
Pengamatan tersebut dapat kita ilustrasikan sebagai berikut

Dari gambar di atas, kita dapat melihat benda dengan
bentuk sama tetapi ukuran yang berbeda. Perbedaan ukuran
terjadi melalui pembesaran atau pengecilan objek dengan
menggunakan perbandingan skala tertentu. Ketiga gambar
tersebut dikatakan sebangun sebab perbandingan tiap sisinya
sama.
Perhatikan gambar bangun datar berikut

Δ ABC dan Δ DEF mempunyai bentuk yang sama, ukuran
yang berbeda, tetapi sudut-sudut yang bersesuaian (seletak)
sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sebanding.
Dalam hal ini ditulis Δ ABC ~ Δ DEF.
Dari gambar tersebut tampak bahwa dua bangun datar yang
sebangun selalu memenuhi syarat:
a. Sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar.
b. Sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sebanding.

Perhatikan gambar pencerminan bangun datar berikut

Belah ketupat ABCD dicerminkan terhadap garis lurus l
sehingga terbentuk bayangan belah ketupat A'B'C'D.
AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D, DA = DA' dengan D tetap.
Mengapa titik D tetap?
Belah ketupat ABCD dan A'B'C'D memiliki bentuk dan
ukuran yang sama. Oleh sebab itu kedua bangun tersebut
disebut kongruen atau sama dan sebangun.
Ditulis ABCD = A'B'C'D.
jadi syarat dua bangun datar yang kongruen adalah...
1. Sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar.
2. Sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama panjang.

contoh
a. Jika Budi rajin belajar, maka ia naik kelas (B)
Jika ia naik kelas, maka akan dibelikan sepeda (B)
Jika Budi rajin belajar, maka akan dibelikan sepeda (B)
b. Jika n bilangan ganjil, maka n2 bilangan ganjl (B)
Jika n2 bilangan ganjil, maka n2 + 1 bilangan genap (B)
Jika n bilangan ganjil maka n2 + 1 bilangan genap (B)
c. Jika x > y maka x + 1 > y + 1 (B)
Jika x + 1 > y + 1, maka -x < -y (B)
Jika x > y maka -x < -y (B)
Untuk menguji sah atau tidak penarikan kesimpulan secara silogisme dapat digunakan

Jadi argumen atau kesimpulan bentuk silogisme tersebut adalah sah.
Hal penting yang perlu diingat dalam menarik kesimpulan adalah sah atau tidaknya
kesimpulan tidak tergantung pada wajar atau tidaknya (saling terkait atau tidak)
makna kesimpulan sebagai pernyataan tetapi pada nilai kebenaran dari kesimpulan
tersebut.
a. Argumen yang kesimpulannya bermakna wajar tetapi tidak diperoleh dengan
menggunakan prinsip-prinsip logika, maka kesimpulan tersebut tidak sah.
b. Beberapa argumen yang kesimpulannya tidak wajar namun diperoleh dengan
menggunakan prinsip-prinsip logika maka kesimpulannya sah.

a. Jika hari minggu, maka Budi bertamasya (B)
Budi tidak bertamasya__________ (B)
Bukan hari minggu (B)
b. Jika ABCD belahketupat, maka AC tegak lurus BD (B)
AC tidak tegak lurus BD ___________________ (B)
ABCD bukan belahketupat (B)
c. Jika ia seorang pegawai maka ia mendapat gaji bulanan (B)
Budi tidak mendapat gaji bulanan____________ (B)
Budi bukan seorang pegawai (B)
Untuk menguji sah atau tidak penarikan kesimpulan secara modus tollens dapat

Modus ponen adalah argumen yang berbentuk sebagai berikut:

Contoh
a. Jika seorang anak rajin belajar, maka ia lulus ujian (B).
Ahmad adalah anak yang rajin belajar__________ (B).
Ahmad lulus ujian (B).
b. Jika n bilangan ganjil maka, n2 bilangan ganjil (B).
3 bilangan ganjil________________________ (B).
32 bilangan ganjil (B).
c. Jika Budi seorang pegawai maka ia mendapat gaji bulanan (B).
Budi seorang pegawai________________________ (B).
Ia mendapat gaji bulanan (B).
Untuk menguji sah atau tidak penarikan kesimpulan secara modus ponen dapat
digunakan tabel kebenaran. Argumen modus ponen “Jika p q benar dan p benar
maka q benar” dapat dituliskan dalam bentuk implikasi, yaitu

Dari tabel di atas tampak bahwa merupakan tautologi. Jadi
argumen atau kesimpulan bentuk modus ponen tersebut adalah sah.

Untuk membuktikan dalil atau hasil baru, kebenarannya harus diperlihatkan sebagai
akibat dari sekelompok pernyataan lain, yang masing-masing dapat diterima sebagai
benar atau sebelumnya sudah dibuktikan kebenarannya. Pernyataan yang diterima
kebenarannya tanpa memerlukan bukti dinamakan aksioma. Misalnya, “Dua garis yang
berlainan tidak dapat berpotongan pada lebih dari satu titik”.
Dalam membuktikan suatu dalil atau menurunkan suatu hasil dari kebenarankebenaran
yang diketahui digunakan pola argumentasi, yaitu dengan melakukan
proses penarikan kesimpulan atau konklusi dari beberapa pernyataan yang diketahui
yang disebut premis dengan didasarkan atas prinsip-prinsip logika, yaitu modus ponen
(inferensi), modus tollens dan silogisme.
Kesimpulan atau konklusi dikatakan berlaku atau sah, bila konjungsi dari premis-premis
berimplikasi konklusi. Sebaliknya, bila konjungsi dari premis-premis tidak berimplikasi
maka argumen dikatakan palsu atau tidak sah. Sehingga, suatu kesimpulan dikatakan
sah bila premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar.