Semester adalah satuan waktu yang digunakan untuk penyelenggaraan program pendidikan. Kegiatan yang dilaksanakan untuk penyelenggaraan program pendidikan. Kegiatan yang dilaksanakan dalam semester itu ialah kegiatan tatap muka, pratikum, keraja lapangan, mid semester, ujian semester dan berbagai kegiatan lainya yang diberi penilaian keberhasilan. Satu semester terdiri dari 19 minggu kerja termasuk penyelenggaraan tatap muka, mid semester dan ujian semester.
Dalam program pendidikan semester dipakai satuan waktu terkecil, yaitu satuan semester untuk menyatakan lamanya satu program pendidikan. Masing-masing program semester sifatnya lengkap dan merupakan satu kebulatan dan berdiri sendiri. Pada setiap akhir semester segenap bahan kegiatan program semester yang disajikan harus sudah selesai dilaksanakan dan mahasiswa yang mengambil program tersebut sudah dapat ditentukan lulus atau tidak.
Program semester adalah program yang berisikan garis-garis besar mengenai hal-hal yang hendak dilaksanakan dan dicapai dalam semester tersebut. Program semester merupakan penjabaran dari program tahunan. Isi dari program semester adalah tentang bulan, pokok bahasan yang hendak disampaikan, waktu yang direncanakan, dan keterangan-keterangan.

Banyak sistem bilangan yang dapat dan telah dipakai dalam melaksanakan
perhitungan. Tetapi ada sistem bilangan
yang sudah jarang dipakai ataupun tidak dipakai lagi sama sekali dan ada pula sistem bilangan yang hanya dipakai
pada hal-hal tertentu saja. Sistem bilangan limaan (quinary) dipergunakan oleh orang Eskimo dan orang Indian di
Amerika Utara zaman dahulu. Sistem bilangan Romawi yang sangat umum dipakai pada zaman kuno, kini
pemakaiannya
terbatas
pada pemberian nomor urut seperti I untuk pertama, II untuk kedua, V untuk kelima
dan
seterusnya; kadang-kadang dipakai juga untuk penulisan tahun seperti MDCCCIV untuk menyatakan tahun 1804.
Sistem bilangan dua belasan (duodecimal) sampai kini masih banyak dipakai seperti 1 kaki = 12 Inci, 1 lusin = 12
buah dan sebagainya.
Namun yang paling umum dipakai kini adalah sistem bilangan puluhan (decimal) yang kita
pakai dalam kehidupan
sehari-hari.
Karena komponen-komponen komputer digital yang merupakan
sistem digital
bersifat saklar (switch), sistem bilangan
yang paling sesuai untuk komputer
digital adalah sistem bilangan biner (binary). Keserdehanaan
pengubahan bilangan biner ke bilangan oktal atau heksadesimal dan sebaliknya, membuat bilangan
oktal dan
heksadesimal juga banyak dipakai dalam dunia komputer, terutama
dalam hubungan pengkodean. Bilangan Biner,
Oktal dan Heksadesimal
akan dibahas dalam bab ini didahului dengan pembahasan
singkat tentang bilangan
desimal sebagai
pengantar

Untuk memahami galat pembulatan lebih rinci, kita perlu mengerti cara penyimpanan bilangan riil di dalam komputer. Format bilangan riil di dalam komputer berbeda-beda bergantung pada piranti keras dan compiler bahasa pemrogramannya. Bilangan riil di dalam komputer umumnya disajikan dalam format bilangan titik-kambang. Bilangan titik -kambang a ditulis sebagai
a = m B p = 0.d1d2d3d4d5d6 ...dn Bp (P.2.17)
yang dalam hal ini, m = mantisa (riil), d1d2d3d4d5d6 ...dn adalah digit atau bit mantisa yang
nilainya dari 0 sampai B – 1, n adalah panjang digit (bit) mantisa. B = basis sistem bilangan yang dipakai (2, 8, 10, 16, dan sebagainya) p = pangkat (berupa bilangan bulat), nilainya dari –Pmin sampai +Pmaks

32 Metode Numerik
Sebagai contoh, bilangan riil 245.7654 dinyatakan sebagai 0.2457654 103 dalam format bilangan titik kambang dengan basis 10. Cara penyajian seperti itu serupa dengan cara penulisan ilmiah. Penulisan ilmiah termasuk ke dalam system bilangan titik-kambang. Sistem bilangan yang kita gunakan setiap hari menggunakan basis sepuluh (disebut juga sistem desimal), B = 10. Umumnya komputer menggunakan system biner (B = 2), tapi beberapa komputer menggunakan basis 8 dan 16. Untuk memudahkan pemahaman –juga karena kita lebih terbiasa sehari-hari dengan bilangan desimal– kebanyakan contoh-contoh bilangan titik-kambang di dalam bab ini disajikan dalam sistem desimal. Bilangan titik-kambang di dalam sistem biner biner direpresentasikan oleh komputer dalam bentuk word seperti ditunjukkan pada Gambar 2.2. Bit pertama menyatakan tanda (+/-), deretan bit berikutnya menyatakan pangkat bertanda, dan deretan bit terakhir untuk mantisa.
Setiap komputer memiliki panjang word yang berbeda-beda. Pada komputer IBM PC, bilangan titik-kambang berketelitian tunggal (single precission) disajikan dalam 32 bit yang terdiri atas 1 bit sebagai tanda, 8 bit untuk pangkat dan 23 bit untuk mantisa. Jika dalam bentuk ternormalisasi (akan dijelaskan kemudian), maka bit pertama pada mantisa harus 1, sehingga jumlah bit mantisa efektif adalah 24:
a = 0.1b1b2b3b4b5b6 ...b23 Bp
yang dalam hal ini b menyatakan bit biner (0 atau 1). Sedangkan pada komputer IBM 370, bilangan titik-kambang berketelitian tunggal disajikan dalam 32 bit yang terdiri dari 1 bit tanda, 7 bit pangkat (basis 16), dan 24 bit mantis (setara dengan 6 sampai 7 digit desimal).

Konsep angka bena (significant figure) atau angka berarti telah dikembangkan secara formal untuk menandakan keandalan suatu nilai numerik. Angka bena adalah angka bermakna, angka penting, atau angka yang dapat digunakan dengan pasti
Contohnya,
• 43.123 memiliki 5 angka bena (yaitu 4, 3, 1, 2, 3)
• 0.1764 memiliki 4 angka bena (yaitu 1, 7, 6, 4)
• 0.0000012 memiliki 2 angka bena (yaitu 1, 2)
• 278.300 memiliki 6 angka bena (yaitu 2, 7, 8, 3, 0, 0)
• 270.0090 memiliki 7 angka bena (yaitu 2, 7, 0, 0, 0, 9, 0)
• 0.0090 memiliki 2 angka bena (yaitu 9, 0)
• 1360, 1.360, 0.001360 semuanya memiliki 4 angka bena

Perhatikanlah bahwa angka 0 bisa menjadi angka bena atau bukan. Pada contoh 0.001360, tiga buah angka nol pertama tidak berarti, sedangkan 0 yang terakhir angka berarti karena pengukuran dilakukan sampai ketelitian 4 digit. Jumlah angka bena akan terlihat dengan pasti bila bilangan riil itu ditulis dalam penulisan ilmiah (scientific notation), misalnya tetapan dalam kimia dan fisika atau ukuran jarak dalam astronomi. Jumlah angka bena terletak pada jumlah digit mantis-nya (tentang mantis ini akan dibahas belakangan):
• 4.3123 101 memiliki 5 angka bena
• 1.764 10-1 memiliki 4 angka bena
• 1.2 10-6 memiliki 2 angka bena
• 2.78300 102 memiliki 6 angka bena
• 0.2700090 103 memiliki 7 angka bena
• 9.0 10-3 memiliki 2 angka bena
• 13.60 102 , 0.1360 101 , 1.360 10-3 memiliki 4 angka bena
• 6.02 1023 memiliki 24 angka bena (bilangan Avogadro)
• 1.5 107 memiliki 8 angka bena (jarak bumi-matahari)
Komputer hanya menyimpan sejumlah tertentu angka bena. Bilangan riil yang jumlah angka benanya melebihi jumlah angka bena komputer akan disimpan dalam sejumlah angka bena komputer itu. Pengabaian angka bena sisanya itulah yang menimbulkan galat pembulatan

Perhitungan dengan metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil.Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan oleh mesin (dalam hal inikomputer) karena semua bilangan riil tidak dapat disajikan secara tepat di dalamkomputer. Keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil menghasilkangalat yang disebut galat pembulatan. Sebagai contoh 1/6 = 0.166666666… tidak dapat dinyatakan secara tepat oleh komputer karena digit 6 panjangnya tidak terbatas. Komputer hanya mampu merepresentasikan sejumlah digit (atau bit dalam sistem biner) saja. Bilangan riil yang panjangnya melebihi jumlah digit (bit) yang dapat direpresentasikan oleh komputer dibulatkan ke bilangan terdekat. Misalnya sebuah komputer hanya dapat merepresentasikan bilangan riil dalam 6 digit angka berarti, maka representasi bilangan 1/6 = 0.1666666666… di dalam komputer 6-digit tersebut adalah 0.166667. Galat pembulatannya adalah 1/6 – 0.166667 = -0.000000333. Contoh dalam sistem biner misalnya
1/10 = 0.000110011001100110011 00110011…2 direpresentasikan di dalam komputer dalam jumlah bit yang terbatas. Kebanyakan komputer digital mempunyai dua buah cara penyajian bilangan riil, yaitu bilangan titik-tetap (fixed point) dan bilangan titik-kambang (floatingpoint) Dalam format bilangan titik -tetap setiap bilangan disajikan dengan jumlah tempat desimal yang tetap, misalnya 62.358, 0.013, 1.000. Sedangkan dalam format bilangan titik-kambang setiap bilangan disajikan dengan jumlah digit berarti yang sudah tetap, misalnya 0.6238 103 0.1714 10-13 atau ditulis juga 0.6238E+03 0.1714E-13 Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik-kambang disebut juga angka bena (significant figure).

Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik:
1. Galat pemotongan (truncation error)
2. Galat pembulatan (round-off error)
Selain kedua galat ini, masih ada sumber galat lain, antara lain [KRE88]:
a. Galat eksperimental, yaitu galat yang timbul dari data yang diberikan, misalnya karena kesalahan pengukuran, ketidaktelitian alat ukur, dan sebagainya
b. Galat pemrograman. Galat yang terdapat di dalam program sering dinamakan dengan kutu (bug), dan proses penghilangan galat ini dinamakan penirkutuan (debugging).

Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan yang menggunakan metode numerik. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan. Kita harus memahami dua hal: (a) bagaimana menghitung galat, dan (b) bagaimana galat timbul. Misalkan aˆ adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a, maka selisih
a a ˆ e (P.2.8)
disebut galat. Sebagai contoh, jika aˆ = 10.5 adalah nilai hampiran dari a = 10.45, maka galatnya adalah e = -0.01. Jika tanda galat (positif atai negatif) tidak dipertimbangkan, maka galat mutlak dapat didefenisikan sebagai
a a ˆ e (P.2.9)
Sayangnya, ukuran galat e kurang bermakna sebab ia tidak menceritakan seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai sejatinya. Sebagai contoh, seorang anak melaporkan panjang sebatang kawat 99 cm, padahal panjang sebenarnya 100 cm. Galatnya adalah 100 - 99 = 1 cm. Anak yang lain melaporkan panjang sebatang pensil 9 cm, padahal panjang sebenarnya 10 cm, sehingga galatnya juga 1 cm. Kedua galat pengukuran sama-sama bernilai 1 cm, namun galat 1 cm pada pengukuran panjang pensil lebih berarti daripada galat 1 cm pada pengukuran panjang kawat. Jika tidak ada informasi mengenai panjang sesungguhnya, kita mungkin menganggap kedua galat tersebut sama saja. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat ini, maka galat harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya. Gagasan ini melahirkan apa yang dinamakan galat relatif.

Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat relatif tersebut dinamakan juga galat relatif sejati. Dengan demikian, pengukuran panjang kawat mempunyai galat relatif sejati = 1/100 = 0.01, sedangkan pengukuran panjang pensil mempunyai galat relatif sejati = 1/10 = 0.1.
Dalam praktek kita tidak mengetahui nilai sejati a, karena itu galat e seringkali dinormalkan terhadap solusi hampirannya, sehingga galat relatifnya dinamakan galat relatif hampiran:
a RA ˆ
e
e (P.2.12)
Contoh 2.4
Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = 3.333. Hitunglah galat, galat mutlak, galat relatif, dan galat relatif hampiran.
Penyelesaian:
galat = 10/3 – 3.333 = 10/3 – 3333/1000 = 1/3000 = 0.000333…
galat mutlak = | 0.000333…| = 0.000333…
galat relatif = (1/3000)/(10/3) = 1/1000 = 0.0001
galat relatif hampiran = (1/3000)/3.333 = 1/9999 
Galat relatif hampiran yang dihitung dengan persamaan (P.2.12) masih
mengandung kelemahan sebab nilai e tetap membutuhkan pengetahuan nilai a (dalam praktek kita jarang sekali mengetahui nilai sejati a). Oleh karena itu, perhitungan galat relatif hampiran menggunakan pendekatan lain. Pada perhitungan numerik yang menggunakan pendekatan lelaran (iteration), eRA dihitung dengan cara
yang dalam hal ini ar+1 adalah nila i hampiran lelaran sekarang dan ar adalah nilai hampiran lelaran sebelumnya. Proses lelaran dihentikan bila
eRA< eS
yang dalam hal ini eS adalah toleransi galat yang dispesifikasikan. Nilai eS menentukan ketelitian solusi numerik. Semakin kecil nilai eS, semakin teliti solusinya, namun semakin banyak proses lelarannya. Contoh 2.5 mengilustrasikan hal ini.