Indonesia selalu mengedepankan "Mencerdaskan kehidupan bangsa"..
tapi budaya yang ada di masyarakat saat ini, ato siswa khususnya baik siswa SD, SMP, SMA bahkan Mahasiswa smuanya suka menyontek, walaupun tidak semua.. tapi kebanyakan sperti itu,,
padahal ketika seseorang memberikan jawaban kepada temanya saat ujian, bukanlah bukanlah hal tepat untuk membantu temanya, justru akan membuat temannya makin tdak bisa dengan pelajaran yang sedang di ujikan,,karena akan membuat siswa tersebut akan malas untuk belajar karena sudah dapat jawaban dari setiap soal dari temennya tadi, sehingga ketika anda memberikan contohan ato contekan pada teman anda,, akan membawa dampak besar dalam kehidupan teman anda, karena akan membuat temen anda semakin ga bisa dan itu adalah kegiatan yang di larang oleh negara indonesia karena tidak sesuai dengan "Mencerdaskan kehidupan bangsa", jadi anda bukanlah warga negra yang baik, karena anda termasuk orang yg tidak mendukung program pemerintah indonesia,dan anda hrus siap du katakan sebagai bukan warga negara yang baik,,

Seseorang pernah menanyakan mengapa saya memilih jurusan Matematika pada tingkat sarjana. Motivasi saya sederhana, matematika memungkinkan saya tak perlu banyak belajar. Berbeda dengan biologi, kimia, sejarah, Pancasila dan beragam pelajaran lainnya yang membutuhkan ketekunan dalam menghabiskan lembar-lembar teks dan melakukan pengulangan agar teks tersebut terekam di kepala, matematika memungkinkan saya untuk tak melakukan semuanya jika sudah mengerti. Namun ketika saya mulai kuliah di matematika, prinsip itu ternyata tidak berlaku. Diperlukan waktu cukup banyak agar suatu materi dimengerti. Bahkan adakalanya menghapal rumus merupakan alasan yang masuk akan daripada menurunkan rumus yang bisa sampai berlembar-lembar.


Melihat kehidupan matematikawan rasanya pandangan awal saya ada benarnya. Di buku Kalkulus karangan Purcell tampak sebuah pola bagi kehidupan matematikawan yang umumnya berasal dari kalangan bangsawan. Memikirkan sesuatu yang tidak terkait langsung dengan permasalahan praksis sehari-hari merupakan sebuah kemewahan. Pola lain adalah matematikawan paruh waktu, seperti Fermat yang berprofesi sebagai ahli hukum. Hal yang menarik adalah keterkaitan antara matematika dan filsafat. Beberapa matematikawan, selain dikenal karena sumbangsihnya dalam dunia angka, juga dikenal sebagai filosof. Rene Descartes selain menyumbangkan bagian namanya untuk kurva Cartesian, juga dikenal sebagai Bapak filsafat modern. Dan dari sejarah filsafat, memang terlihat keterkaitan antara bangunan matematika dengan bagaimana manusia memandang alam dan dirinya sebagai bagian dari keseluruhan.

Adanya keterkaitan antara cara pandang matematikawan dengan penemuan-penemuan mereka membuat saya sadar bahwa bukan kecerdasan yang membuat mereka dapat merumuskan formula-formula canggih, melainkan bagaimana semuanya menyatu dalam kehidupan mereka. Waktu yang terus digunakan untuk berpikir. Tak masalah jika munculnya terasa ajaib seperti Archimedes di bak mandi atau Newton di bawah pohon apel.

Here is an interesting and lovely way to look at the beauty of mathematics, and of God, the sum of all wonders.

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 987 65
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

Perhatikan gambar berikut.

Apa yang dapat kalian simpulkan dari kedua gambar tersebut?
Apakah kedua gambar tersebut sebangun?
Ternyata kedua bangun tersebut memenuhi syarat kesebangunan
dua bangun datar atau ABCD ~ EFGH, sehingga
dipenuhi:
1) ∠ A = ∠ E, ∠ B = ∠ F, ∠ C = ∠ G, dan ∠ D = ∠H.
2)AB/EF=BC/FG=CD/GH=AD/EH= k
Pada gambar di atas nilai faktor skala k = 2
Contoh
Perhatikan gambar berikut

Diberikan segi empat KLMN dan segi empat PQRS, dengan
KLMN ~ PQRS. Hitunglah:
a. faktor skala k.
b. panjang QR dan MN.
Penyelesaian:
a. Karena KLM ~ PQRS maka kedua bangun tersebut
mempunyai hubungan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.
Berarti , dengan k faktor skala.
Diketahui KL = 45 cm dan PQ = 15 cm, artinya
Jadi faktor skala k = 3.
KL/PQ= k, dengan k faktor skala

diketahui KL = 45 cm dan PQ = 15 cm, artinya
KL / PQ = 45 / 15 = 3
Jadi faktor skala k = 3.
b. QR bersesuaian dengan LM. Karena dua bangun tersebut
mempunyai faktor skala k = 3 , maka LM / QR = 3
berarti QR = LM/3 = 51 cm / 3 = 17 cm
MN bersesuaian dengan RS. Karena dua bangun tersebut
mempunyai faktor skala k =3 , maka LM/RS = 3
Berarti
MN = 3RS = 3 × 9 cm = 27 cm.

Perhatikan bahwa trapesium ABCD = EFGH.

Tentukan panjang dan besar unsur-unsur yang belum
diketahui.
Penyelesaian:
Karena trapesium ABCD EF = GH, maka berlaku
hubungan sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
AB = CD = EF = GH = 5 cm
EH = BC = 4 cm
AD = FG = 9 cm
Demikian juga, karena trapesium ABCD EFGH, maka
berlaku hubungan sudut-sudut yang bersesuaian sama
besar.
∠ A = ∠ F = 60
∠ B = ∠ E = 130
∠ C = ∠ H = 100
∠ D = ∠ G = 70

Mari kita ingat kembali syarat dua bangun datar yang
kongruen. Dua bangun datar dikatakan kongruen jika dan hanya
jika memenuhi:
1) Sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar.
2) Sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama panjang.
Jika kita mempunyai dua bangun datar yang kongruen seperti
di bawah ini,

Maka unsur-unsur yang belum diketahui besar dan panjangnya
dapat dicari dengan memperhatikan syarat kekongruenan dua
bangun datar.
1) Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
Diketahui besar ∠ B = α, ∠ D = β, ∠ E = γ , ∠ G = θ.
Karena ABCD = EFGH maka besar ∠ A, ∠ C, ∠ F, dan
∠ H dapat dicari sebagai berikut.
∠ A = ∠ E → ∠ A = ∠ E = γ
∠ B = ∠ F → ∠ F = ∠ B = α
∠ C = ∠ G → ∠ C = ∠ G = θ
∠ D = ∠ H → ∠ H = ∠ D = β
2) Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang
Diketahui panjang AD = z, CD = x, EF = y, FG = t.
Karena ABCD = EFGH maka panjang AB, BC, GH, dan EH
dapat dicari sebagai berikut.
AB = EF → AB = EF = y
BC = FG → FG = BC = t
CD = GH → GH = CD = x
AD = EH → EH = AD = z

Pernahkah kalian melakukan pengamatan dengan
menggunakan mikroskop? Pada pembesaran tertentu, kita
dapat mengamati benda-benda yang sangat kecil ukurannya.
Pengamatan tersebut dapat kita ilustrasikan sebagai berikut

Dari gambar di atas, kita dapat melihat benda dengan
bentuk sama tetapi ukuran yang berbeda. Perbedaan ukuran
terjadi melalui pembesaran atau pengecilan objek dengan
menggunakan perbandingan skala tertentu. Ketiga gambar
tersebut dikatakan sebangun sebab perbandingan tiap sisinya
sama.
Perhatikan gambar bangun datar berikut

Δ ABC dan Δ DEF mempunyai bentuk yang sama, ukuran
yang berbeda, tetapi sudut-sudut yang bersesuaian (seletak)
sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sebanding.
Dalam hal ini ditulis Δ ABC ~ Δ DEF.
Dari gambar tersebut tampak bahwa dua bangun datar yang
sebangun selalu memenuhi syarat:
a. Sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar.
b. Sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sebanding.

Perhatikan gambar pencerminan bangun datar berikut

Belah ketupat ABCD dicerminkan terhadap garis lurus l
sehingga terbentuk bayangan belah ketupat A'B'C'D.
AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D, DA = DA' dengan D tetap.
Mengapa titik D tetap?
Belah ketupat ABCD dan A'B'C'D memiliki bentuk dan
ukuran yang sama. Oleh sebab itu kedua bangun tersebut
disebut kongruen atau sama dan sebangun.
Ditulis ABCD = A'B'C'D.
jadi syarat dua bangun datar yang kongruen adalah...
1. Sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar.
2. Sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama panjang.

contoh
a. Jika Budi rajin belajar, maka ia naik kelas (B)
Jika ia naik kelas, maka akan dibelikan sepeda (B)
Jika Budi rajin belajar, maka akan dibelikan sepeda (B)
b. Jika n bilangan ganjil, maka n2 bilangan ganjl (B)
Jika n2 bilangan ganjil, maka n2 + 1 bilangan genap (B)
Jika n bilangan ganjil maka n2 + 1 bilangan genap (B)
c. Jika x > y maka x + 1 > y + 1 (B)
Jika x + 1 > y + 1, maka -x < -y (B)
Jika x > y maka -x < -y (B)
Untuk menguji sah atau tidak penarikan kesimpulan secara silogisme dapat digunakan

Jadi argumen atau kesimpulan bentuk silogisme tersebut adalah sah.
Hal penting yang perlu diingat dalam menarik kesimpulan adalah sah atau tidaknya
kesimpulan tidak tergantung pada wajar atau tidaknya (saling terkait atau tidak)
makna kesimpulan sebagai pernyataan tetapi pada nilai kebenaran dari kesimpulan
tersebut.
a. Argumen yang kesimpulannya bermakna wajar tetapi tidak diperoleh dengan
menggunakan prinsip-prinsip logika, maka kesimpulan tersebut tidak sah.
b. Beberapa argumen yang kesimpulannya tidak wajar namun diperoleh dengan
menggunakan prinsip-prinsip logika maka kesimpulannya sah.

a. Jika hari minggu, maka Budi bertamasya (B)
Budi tidak bertamasya__________ (B)
Bukan hari minggu (B)
b. Jika ABCD belahketupat, maka AC tegak lurus BD (B)
AC tidak tegak lurus BD ___________________ (B)
ABCD bukan belahketupat (B)
c. Jika ia seorang pegawai maka ia mendapat gaji bulanan (B)
Budi tidak mendapat gaji bulanan____________ (B)
Budi bukan seorang pegawai (B)
Untuk menguji sah atau tidak penarikan kesimpulan secara modus tollens dapat

Modus ponen adalah argumen yang berbentuk sebagai berikut:

Contoh
a. Jika seorang anak rajin belajar, maka ia lulus ujian (B).
Ahmad adalah anak yang rajin belajar__________ (B).
Ahmad lulus ujian (B).
b. Jika n bilangan ganjil maka, n2 bilangan ganjil (B).
3 bilangan ganjil________________________ (B).
32 bilangan ganjil (B).
c. Jika Budi seorang pegawai maka ia mendapat gaji bulanan (B).
Budi seorang pegawai________________________ (B).
Ia mendapat gaji bulanan (B).
Untuk menguji sah atau tidak penarikan kesimpulan secara modus ponen dapat
digunakan tabel kebenaran. Argumen modus ponen “Jika p q benar dan p benar
maka q benar” dapat dituliskan dalam bentuk implikasi, yaitu

Dari tabel di atas tampak bahwa merupakan tautologi. Jadi
argumen atau kesimpulan bentuk modus ponen tersebut adalah sah.

Untuk membuktikan dalil atau hasil baru, kebenarannya harus diperlihatkan sebagai
akibat dari sekelompok pernyataan lain, yang masing-masing dapat diterima sebagai
benar atau sebelumnya sudah dibuktikan kebenarannya. Pernyataan yang diterima
kebenarannya tanpa memerlukan bukti dinamakan aksioma. Misalnya, “Dua garis yang
berlainan tidak dapat berpotongan pada lebih dari satu titik”.
Dalam membuktikan suatu dalil atau menurunkan suatu hasil dari kebenarankebenaran
yang diketahui digunakan pola argumentasi, yaitu dengan melakukan
proses penarikan kesimpulan atau konklusi dari beberapa pernyataan yang diketahui
yang disebut premis dengan didasarkan atas prinsip-prinsip logika, yaitu modus ponen
(inferensi), modus tollens dan silogisme.
Kesimpulan atau konklusi dikatakan berlaku atau sah, bila konjungsi dari premis-premis
berimplikasi konklusi. Sebaliknya, bila konjungsi dari premis-premis tidak berimplikasi
maka argumen dikatakan palsu atau tidak sah. Sehingga, suatu kesimpulan dikatakan
sah bila premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar.

Negasi pernyataan “Untuk semua x berlaku p(x)” adalah “Tidak benar bahwa untuk
semua x berlaku p(x)” atau dengan kata lain “sekurang-kurangnya ada satu x
sedemikian sehingga p(x) tidak berlaku”. Dengan menggunakan lambang kita tuliskan
sebagai berikut:

Kuantor eksistensial ditulis dengan lambang “ ” dan dibaca “ada/beberapa” atau
“sekurang-kurangnya satu”. Jika p(x) adalah kalimat terbuka dan diberi kuantor
eksistensial maka akan menjadi suatu pernyataan dan ditulis ( x) p(x) yang dibaca:
1. Ada x sedemikian sehingga berlaku sifat p.
2. Beberapa x mempunyai sifat p.
3. Sekurang-kurangnya satu x dengan sifat p.
Bentuk ( x) p(x) merupakan pernyataan deklaratif yang mempunyai nilai kebenaran
dapat benar atau salah yaitu jika dapat ditemukan sekurang-kurangnya satu x yang
bersifat p(x) maka ( x) p(x) benar. Jika tidak dapat ditemukan satupun x yang bersifat
p(x) maka ( x) p(x) salah.
Contoh 1
x bilangan asli, x < 1
Pernyatan bernilai salah karena tidak dapat ditentukan x bilangan asli yang < 1.
Contoh 2
x bilangan prima, x merupakan bilangan genap.
Pernyataan tersebut bernilai benar karena ada bilangan prima yang merupakan
bilangan genap yaitu 2.

Kuantor universal ditulis dengan lambang “ ” dan dibaca “untuk semua” atau “untuk
setiap”. Jika p(x) adalah kalimat terbuka dan diberi kuantor universal maka akan
menjadi suatu pernyataan dan ditulis ( x) p(x) yang dibaca:
Untuk setiap harga x berlaku sifat p.
Untuk semua harga x mempunyai sifat p.
Bentuk ( x) p(x) merupakan pernyataan deklaratif yang mempunyai nilai kebenaran
dapat benar atau salah, yaitu jika tidak dapat ditemukan x yang tidak bersifat p(x)
maka ( x) p(x) bernilai benar. Jika dapat ditemukan x yang tidak bersifat p(x), maka
p(x) bernilai salah.
Contoh 29
Setiap kucing mempunyai ekor.
Pernyataan ini bernilai benar karena tidak ditemukan kucing yang tidak berekor.
Contoh 30
x bilangan real, x2 = 1.
Pernyataan ini bernilai salah, walaupun berlaku untuk x = -1 atau x = 1 yaitu 12 = 1
dan (1)2 = 1 tetapi tidak berlaku untuk semua x ( misalnya x = 3, maka 32 1).

Suatu kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan jika variabel dari kalimat
tersebut disubstitusikan dengan suatu konstanta tertentu.
Misalnya:
Kalimat terbuka x + 4 = 3 untuk x R.
Jika x = -1, maka kalimat terbuka tersebut menjadi suatu pernyataan yang bernilai
benar.
Jika x = 2, maka kalimat terbuka tersebut menjadi suatu pernyataan yang bernilai
salah.
Cara lain untuk mengubah kalimat terbuka menjadi suatu pernyataan adalah dengan
menggunakan kuantor.
Terdapat dua jenis kuantor, yaitu
a. Kuantor universal
b. Kuantor eksistensial

Tentukan pernyataan yang ekuivalen atau setara dengan pernyataan berikut ini!
a. Jika hari hujan maka saya tidak datang.
b. Jika dua sisi segitiga sama maka segi tiga tersebut sama kaki.
Jawab:
Untuk menentukan pernyataan baru yang setara atau ekuivalen dengan pernyataan
implikasi dapat kita gunakan hasil pada tabel di atas yaitu kita buat kontraposisinya.
a. Implikasi : Jika hari hujan maka saya tidak datang.
Kontraposisi : Jika saya datang maka hari tidak hujan.
b. Implikasi : Jika dua sisi segitiga sama maka segi tiga tersebut sama kaki.
Kontraposisi : Jika segitiga tidak sama kaki maka dua sisi segitiga tidak sama.

Contoh 27
Misalkan p : Segitiga ABC sama sisi dan q: Ketiga sudutnya sama besar. Implikasi dari
pernyataan p dan q adalah



Sekarang perhatikan tabel di bawah ini untuk mengetahui hubungan implikasi,
konvers, invers dan kontraposisi berikut ini.

Buktikan bahwa :

Jawab:
Untuk membuktikan dua pernyataan yang berbentuk simbol digunakan tabel
kebenaran sebagai berikut.

Tentukan ingkaran atau negasi dari pernyataan majemuk berikut ini!
a. 2 adalah bilangan genap atau 3 merupakan bilangan ganjil.
b. 4 + 2 = 5 dan 4 < 5.
c. Jika hari mendung maka akan turun hujan.
d. 3 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 6 bilangan genap.
Jawab:
Untuk menentukan negasi dari pernyatan tersebut gunakan hasil pada Contoh 23.
a. 2 adalah bukan bilangan genap dan 3 bukan merupakan bilangan ganjil.
b. 4 + 2 bukan sama dengan 5 atau 4 > 5.
c. Hari mendung dan (tetapi) tidak akan turun hujan.
d. 3 adalah bukan bilangan ganjil jika dan hanya jika 6 bilangan genap.

Nilai kebenaran dari suatu pernyataan p, q, r, . . . yang kompleks dan dalam bentuk
simbol yang menggunakan operasi pernyataan (negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi
dan biimplikasi) dapat ditentukan dengan menggunakan tabel kebenaran.
Contoh 23
Tentukan nilai kebenaran dari pasangan pernyataan majemuk berikut dalam satu
tabel!

Keterangan:
1. Kolom ke 1 dan ke 2 merupakan kemungkinan dari dua pernyataan sehingga terdiri dari 4 kemungkinan (baris) yang diperoleh 22 = 4.
2. Kolom ke 3 dan 4 merupakan negasi / ingkaran dari pernyataan pada kolom ke 1 dan 2.
3. Kolom ke 5 merupakan pernyataan konjungsi dan
4. Kolom ke 6 merupakan negasi dari pernyataan konjungsi.
5. Kolom ke 7 merupakan disjungsi dari kolom ke 3 dan ke 4.
Nilai kebenaran pada kolom ke 6 adalah ekuivalen atau setara dengan pada kolom
ke 7 adalah SBBB, sehingga dapat disimpulkan bahwa negasi dari pernyataan

Dua pernyataan p dan q dapat dibuat menjadi satu pernyataan baru atau kalimat
majemuk menjadi bentuk “p jika dan hanya jika q”. Pernyataan baru yang disusun
dengan cara seperti ini disebut pernyataan biimplikasi atau ekuivalensi dari pernyatan
p dan q. Biimplikasi dari pernyataan p dan q dalam bentuk simbol ditulis:

Dua pernyataan p dan q dapat dibuat menjadi satu pernyataan baru atau kalimat
majemuk menjadi bentuk “jika p maka q”. Pernyatan baru yang disusun dengan cara
seperti ini disebut pernyataan implikasi atau peryataan bersyarat/kondisional dari
pernyataan p dan q. Bagian “jika p” dinamakan alasan atau sebab (antesenden
/hipotesis) dan bagian “maka q” dinamakan kesimpulan atau akibat (konklusi atau
konsekuen). Implikasi “jika p maka q” dalam bentuk simbol ditulis:

Dua pernyataan p dan q dapat digabung dengan menggunakan kata hubung “atau”
untuk membentuk sebuah pernyataan baru. Pernyataan majemuk ini disebut dengan
disjungsi. Disjungsi dari pernyataan p dan q ditulis “p v q” dan dibaca “p disjungsi q
atau “p atau q”.
Dalam kehidupan sehari-hari kata “atau” berarti salah satu atau kedua-duanya, dapat
pula salah satu tetapi tidak kedua-duanya.
Contoh 13
a. p : 5 merupakan bilangan ganjil
q : Kalimantan adalah pulau terbesar di Indonesia
p v q: 5 merupakan bilangan ganjil atau Kalimantan adalah pulau terbesar di
Indonesia.
b. p : Dua garis saling sejajar
q : Dua garis saling berpotongan
p v q : Dua garis saling sejajar atau saling berpotongan.

Dua pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan meggunakan kata hubung “dan”
untuk membentuk suatu pernyataan majemuk yang disebut konjungsi dari pernyataan
p dan q. Konjungsi dari pernyataan p dan q dinyatakan dengan:

dibaca “ p dan q”.
Contoh 10
a. p : Jakarta adalah Ibukota Indonesia.
q : Jakarta terletak di pulau Jawa.
p q : Jakarta adalah Ibukota Indonesia dan terletak di pulau Jawa.
b. p : 2 adalah bilangan prima.
q : 2 adalah bilangan ganjil.
p q : 2 adalah bilangan prima dan bilangan ganjil.

Pernyataan majemuk atau kalimat majemuk adalah suatu pernyataan baru yang
tersusun atas dua atau lebih pernyataan dengan menggunakan kata hubung logika,
yaitu dan, atau, tetapi dan sebagainya. Pernyataan tunggal pembentuk pernyataan
majemuk tersebut disebut dengan komponen-komponen atau sub pernyataan.
Contoh 9
a. Bandung ibukota provinsi Jawa Barat dan terletak di Pulau Jawa.
Komponen pembentuk kalimat majemuk tersebut adalah Bandung Ibukota Jawa
Barat dan Bandung terletak di Jawa Barat.
b. 2 + 3 = 5 atau 2 – 1 > 5.
Komponen pembentuk kalimat majemuknya adalah 2 + 3 = 5 dan 2 – 1>5.
c. Jika ikan bernapas dengan insang maka manusia dengan paru-paru.
Komponen pembentuk kalimat majemuk tersebut adalah ikan bernapas dengan
insang dan manusia bernapas dengan paru-paru.

Ingkaran atau negasi biasanya digunakan untuk menyangkal atau kebalikan dari suatu
pernyataan. Untuk menyangkal atau membuat negasi dari suatu pernyataan biasanya
dengan cara membubuhkan kata “tidak benar” di depan kalimat atau dengan
menyisipkan kata “tidak atau bukan” di dalam pernyataan tersebut. Pernyataan baru
yang didapat dengan cara seperti itu disebut negasi atau ingkaran dari suatu
pernyataan semula.
Jika p adalah suatu pernyataan, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan tersebut
dituliskan dengan menggunakan lambang berikut ini

dan dibaca “tidak benar p”atau “bukan p”
Contoh 7
Tentukan ingkaran atau negasi dari pernyataan-pernyataan berikut!
a. p : Jakarta ibukota Indonesia
~p : Tidak benar Jakarta ibukota Indonesia
~p : Jakarta bukan ibukota Indonesia
b. q : 6 < 3
~q : Tidak benar 6 < 3
~q : 6 3
c. r : cos2x + sin2x = 1
~r : Tidak benar cos2x + sin2x = 1
~r : cos2x + sin2x 1
d. s : 2 – 3 x 4 < 10
~s : Tidak benar 2 – 3 x 4 < 10
~s : 2 – 3 x 4 > 10
Bila kita perhatikan pada contoh di atas, tampak bahwa jika suatu pernyataan bernilai
benar (contoh 7a dan 7c) maka akan mempunyai ingkaran bernilai salah. Sebaliknya
jika suatu pernyataan benilai salah (contoh 7b) maka akan mempunyai ingkaran
bernilai benar. Sehingga nilai kebenaran dari suatu ingkaran selalu berlawanan dengan
nilai kebenaran pernyataan semula.

Dalam kehidupan sehari-hari, jika ingin mengutarakan sesuatu, maka
selalu menggunakan kalimat (rangkaian kata-kata). Menurut logika skema kalimat
sebagai berikut:

1). Kalimat berarti
Kalimat berarti adalah kalimat yang mempunyai arti
Contoh 1
a. Fatimah siswi kelas X
b. Jakarta terletak di Pulau Jawa
c. 6 x 8 = 50
2). Kalimat tak berarti
Kalimat tak berarti adalah kalimat yang tidak mempunyai arti
Contoh 2
a. Bank mencintai delapan
b. Tiga makan lemari
3). Kalimat Deklaratif( pernyataan)
Kalimat deklaratif adalah kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja,
tetapi tidak sekaligus dua-duanya. Dengan demikian kita dapat mengatakan bahwa
pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja tetapi
tidak benar dan salah sekaligus, atau dengan kata lain sebuah pernyataan adalah
kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya (bernilai benar atau salah
berdasarkan empirik atau non empirik). Untuk mempermudah penggunaan
selanjutnya, pernyataan dilambangkan dengan sebuah huruf kecil, misalnya p, q, r dan
sebagainya. Pernyataan yang benar memiliki nilai kebenaran B (benar) atau 1 dan
pernyataan salah memiliki kebenaran S (salah) atau 0.
Contoh 3
a. p : Bilangan cacah adalah bilangan asli ditambah nol
b. q : Lagu Indonesia Raya diciptakan oleh Kusbini
c. r : Jika 2x = 6 maka x = 3
Pada contoh 3, p dan r adalah dua pernyataan yang bernilai benar sedangkan q adalah
pernyataan yang bernilai salah.
4). Kalimat Deklaratif Faktual (pernyataan fakta)
Kalimat deklaratif faktual adalah pernyataan yang nilai kebenarannya harus diselidiki
terlebih dahulu.
Contoh 4
a. Hanif adalah salah satu siswa SMK Taruna
b. Fulan adalah seorang koruptor
c. Telah terjadi kebakaran di Perumahan Bumi Maya
5). Kalimat non deklaratif (bukan pernyataan )
Kalimat non deklaratif adalah kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya.
Contoh 5
a. Semoga Tuhan mengampuni dosamu.
b. Berapakah jumlah siswa SMK se DKI Jakarta ?
c. Beristirahatlah jika anda lelah
6). Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung peubah (variabel) dan apabila
peubah diganti dengan suatu konstanta dalam semestanya, akan menghasilkan suatu
pernyataan.
Contoh 6
a. x + 2 = 5
b. x2 – 5x – 40 > 0
c. Ini adalah sebuah logam
Sebuah variabel pada kalimat terbuka, jika diganti maka kalimat tersebut dapat
ditentukan nilai kebenarannya. Tinjaulah x + 2 = 5, jika x kita ganti dengan 3 maka
kalimat tersebut menjadi 3 + 2 = 5 adalah kalimat yang bernilai benar dan x = 3
dinamakan penyelesaian dari kalimat terbuka tersebut. Tetapi jika harga x kita ganti
dengan 1 maka kalimat tersebut menjadi 1 + 2 = 5, ini merupakan pernyataan yang
bernilai salah.
Dari tinjauan di atas dapat kita katakan bahwa kalimat terbuka dapat berubah menjadi
sebuah pernyataan yang bernilai benar atau salah jika variabel atau peubah dari
kalimat terbuka tersebut diganti dengan nilai tertentu.

MATA PELAJARAN MATEMATIKA

1.Ibu membeli kentang sebanyak 7,2 kg dengan harga Rp 2.250,00 tiap 1 kg. Setengah dari kentang tersebut telah dijual. Sepertiga dari sisanya dibeli oleh Bibi dengan harga Rp 2.600,00 setiap kg. Berapa rupiah Bibi harus membayar ?

2.Ada tiga lampu yaitu, merah, hijau dan kuning. Lampu merah menyala setiap 16 detik, lampu hijau menyala setiap 24 detik, lampu kuning menyala setiap 36 detik. Jika ketiga lampu awalnya dinyalakan bersama-sama, maka pada detik keberapa lampu-lampu itu menyala bersama-sama lagi ?

3.Halaman sebuah sekolah berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 24 meter dan lebar 13 m. Di tengah halaman dibangun sebuah taman berbentuk lingkaran dengan garis tengah 7 m. Berapa m2 luas halaman yang tidak ada tamannya ?

4.Ibu mempunyai uang Rp 1.750.000,00. Diberi lagi oleh ayah sebanyak Rp 250.000,00. Digunakan Ibu untuk membayar hutang sebesar Rp 511.500,00. Semua sisa uangnya dibelikan beras sebanyak 650 kg. Berapa harga beras setiap kg ?

5.Sebuah truk mengangkut semangka 2,35 ton. Ternyata 182 ½ kg semangka busuk. Semangka yang tidak busuk dijual dengan harga Rp 2.750,00 per kg. Berapa hasil penjualan semangka tersebut ?

6.Pak Hasan mempunyai sebidang tanah dengan panjang 148 meter dan lebar 112,5 meter. Berapa are luas tanah Pak Hasan ?

7.Bak penampungan air berukuran panjang 7,5 meter, lebar 5 meter dan tinggi 1,8 meter. Berapa liter air yang dapat ditampung ?

8.Untuk keperluan pembangunan rumah, ayah memerlukan truk batu bata. Isi setiap truk 3.625 batu bata. Jika batu bata tersebut dikelompokkan menjadi tiga kelompok sama banyak, maka berapa batu bata setiap kelompoknya.

9.Paman seorang pengusaha pengemasan ikan banding. Berat seekor ikan banding 0,08 kg. Isi setiap kardus 60 ekor. Bila setiap hari paman dapat mengemas 45 kardus, berapa ton ikan banding yang dikemas paman selama 25 hari ?

10.Selisih uang Rohim dan Sugeng adalah Rp 6.000,00. Perbandingan uang mereka 9 : 5. Berapa rupiah jumlah uang mereka ?

11.Jarak kota A sampai kota B 60 km. Ali mulai bersepeda dari kota A ke kota B pukul 08.55 dengan kecepatan rata-rata 15 km/jam. Pada waktu yang sama Husen berangkat dari kota A ke kota B dengan kecepatan 20 km/jam. Setelah menempuh perjalanan 2 jam, Husen beristirahat sambil menanti Ali. Berapa lama Husen beristirahat sampai tersusul Ali ?

12.Panjang jalan yang menghubungkan desa A ke desa B 2,8 km. Jalan yang belum diaspal 14 2/7 % dari panjang jalan. Berapa meter jalan yang sudah diaspal ?

13.Seorang pengusaha fotokopi rata-rata membutuh,an 275 lembar kertas setiap 15 menit. Bila fotokopi itu rata-rata diperkerjakan selama 5 ¼ jam setiap harinya, berapa rim kertas yang dibutuhkan untuk 8 hari ?

14.Seorang pengrajin mempunyai balok kayu dengan ukuran panjang 3 m, lebar 51 cm dan tinggi 36 m. Balok itu dipotong menjadi 4 bagian sama panjang. Lebar setiap bagian dibelah menjadi 17 bagian yang sama. Berapa cm3 volume 25 bagian potongan balok itu ?

15.Di ruang pentas seni ada 3 lampu, lampu merah menyala setiap 12 detik, lampu hijau menyala setiap 15 setik, sedangkan lampu kuning menyala setiap 20 detik. Jika awalnya lampu itu menyala bersama-sama, maka setiap berapa detik lampu itu akan menyala bersama-sama lagi ?

16.Seorang pedagang membeli beras 2,04 ton. Agar penjualnnya mudah dan cepat beras itu dimasukkan ke dalam kantong-kantong kecil. Bila isi setiap kantong rata-rata 1/5 kuintal, berapa kantong yang dibutuhkan untuk mengemas seluruh beras itu ?

17.Berat badan Ibu 5/7 berat badan Ayah. Jika berat Ayah 63 kg, berapakah berat badan Ibu ?

18.Suraya membeli 2 ½ kg gula. Sebanyak 1 ¾ kg gula dipakai untuk membuat kue. Bibinya datang memberi 2 kg gula. Berapa kg gula Suraya sekarang ?

19.Gambarlah bangun layang-layang yang mempunyai sudut atas bawah 60o serta masing-masing sudut kanan kiri 90 o !

20.Jarak kota A dengan kota B pada peta 5 cm. Skala peta 1 : 500.000. Berapa jarak sesungguhnya kota A dengan kota B ?

21.Gambarlah segiempat ABCD pada bidang koordinat dengan ketentuan titik A(2, 1), B(-1, 2), C(-2, 2) dan D(1, -2) !

22.Telepon A berdering setiap 12 menit dan telepon B berdering setiap 6 menit. Jika kedua telepon berdering bersama pada pukul 08.20 pada pukul berapa kedua telepon akan berdering bersama-sama lagi ?

23.Ibu membeli 3/5 meter pita. Pita itu diberikan kepada Ana ¼ meter. Kemudian Ibu membeli lagi 3/2 meter. Berapa meter pita Ibu sekarang ?

24.Jarak kota A ke kota B dalam peta 10 cm. Hitunglah jarak sebenarnya jika diketahui skala peta 1 : 1.000.0000 !

25.Jarak Semarang-Kudus adalah 58 km. Arman bersepeda motor dari Semarang pukul 07.45 dan sampai Kudus pukul 09.45. Berapakah kecepatan rata-rata perjalanan Arman ?

26.Farid mempunyai 6 buah tali, panjang masing-masing tali 70 cm, 200 mm, 5000 mm, 20 cm, 300 mm dan 10 cm. Dari keenam tali tersebut dihubungkan menjadi 2 buah tali sama panjang. Berapa panjang masing-masing tali ?

27.Perbandingan umur Ayah dan umur Ibu adalah 3 : 2. Jika umur Ibu 42 tahun, hitunglah umur Ayah !

28.Ani mempunyai sejumlah uang. 5/9 dari uang itu diberikan kepada adiknya. Kemudian Ibu Ani memberi uang yang jumlahnya sama dengan 8/9 bagian dari uang Ani. Berapa banyak uang Ani sekarang, jika uang Ani mula-mula Rp 6.000,00 ?

29.Lebar langkah kaki Ayah 40 cm. Sedangkan langkah kaki Adik 32 cm. Keduanya berjalan bersama-sama menuju tempat ibadah. Setiap langkah langkah keberapa kedua-duanya bersama-sama menginjakkan telapak kaki ke tanah ?

30.Seorang pedagang mempunyai 55 kg beras. Sebanyak 4/5 bagian dari beras laku terjual. Berapa kg beras yang belum terjual ?

31.Sebuah rumah diselesaikan dalam waktu 5 bulan, 3 minggu lebih 5 hari. Berapa hari rumah tersebut diselesaiakan ?

32.Aku berjalan 12 langkah ke depan. Setelah sampai di tujuan, aku mundur lagi dengan jumlah langkah yang sama. Apabila langkah mundurku ditulis dalam bilangan bulat, berapakah itu ?

33.Ibu ke pasar membeli 3 ½ kg gula, 4 ¼ kg beras, dan 2 ¾ kg garam. Sesampainya di rumah, 2 ½ kg beras tanak. Berapa berat siswa belanjaan Ibu ?

34.Pada sebuah peta jarak kota A ke kota B adalah 2 cm, kota B ke kota C 4 cm, dan kota C ke kota D 3 cm. Skala pada peta 1 : 523.000 ! Carilah jarak dari kota A ke kota D melalui kota B dan C yang sebenarnya !

35.Berat badan Ibu : Adik = 11 : 1. Saat Ibu menggendong Adik, berat keduanya adalah 60 kg. Berapa kg berat badan Adik ?

36.Sebuah toko buku untung 18 % dari modal awal Rp 165.000.000,00. Berapa jumlah keuntungan ditambah modal toko buku tersebut ?

37.Suhu di dalam sebuah lemari es minus 10o C. Berapa derajat suhunya bila diukur dengan termometer Reamur ? Apabila diukur dengan termometer Fahrenheit apakah hasilnya juga minus ?

38.Tarif telepon ke New York Rp 70.000,00 per menit. Jika kakak menelepon temannya di New York selama 4 menit 40 detik, berapakah biayanya ?

39.Bahri berangkat berlayar mencari ikan pada pukul 23.00. Saat kembali ke darat waktu menunjukkan pukul 03.30. Berapa lama Bahri berlayar mencari ikan ?

40.Perbandingan umur Andi dan Parman adalah 5 : 3. Umur Paman : Sholeh = 4 : 3. Jumlah umur ketiganya 82 tahun. Berapakah umur Paman ?

Seseorang sedang melakukan pengukuran terhadap panjang suatu ruas jalan de dan panjang kertas A4. Hasil pengukurannya untuk jalan tol didapat 9.950 m dan hasil pengukuran untuk panjang kertas adalah 29 cm. Padahal panjang sebenarnya untuk jalan desa adalah 10.000 m dan panjang sebenarnya untuk kertas A4 adalah 29,7 cm. Disini terjadi sakesalahan pengukuran untuk jalan desa sebesar 50 m atau 5.000 cm. Dan kesalahan pengukuran untuk panjang kertas A4 adalah 0,7 cm. Pengukuran yang manakah yang lebih teliti?.
kita bisa mencari atau meminimalisasi kesalahanya dengan menggunankan aproksimasi kesalahan,,,dengan menentukan
1. Satuan Pengukuran Terkecil
2. Salah Mutlak
3. Salah Relatif
4. Persentase Kesalahan
5. Toleransi Kesalahan..
ini berada di BAb Aproksimasi Kesalahan,,
semakin akuran alat ukurnya maka kesalahan(eror)nya semakin sedikit...
selamat mencoba

Pendidikan formal di lingkungan sekolah mulai jenjang prasekolah (TK), SD, SLTP sampai SLTA memiliki kurikulum yang memuat pelajaran dan materi yang akan diajarkan, salah satu pelajaran tersebut adalah matematika. Sebagian besar siswa menganggap matematika sebagai pelajaran yang sukar dan menakutkan, sehingga menjadi momok bagi siswa. Hal tersebut sebenarnya bertolak belakang dengan keadaan sebenarnya. Matematika dijadikan tolak ukur kelulusan siswa (SLTP dan SLTA) melalui diujikannya matematika dalam ujian nasional dan diajarkan di semua jenjang pendidikan dan jurusan.

Permasalahan belum diterimanya matematika secara sukarela atau senang hati oleh siswa menjadi pekerjaan atau tugas khusus bagi guru sebagai pendidik khususnya guru matematika. Hal ini dapat diminimalisir dengan memberikan wawasan dan arahan serta pendekatan yang tepat kepada siswa. Khususnya tentang penggunaan atau aplikasi matematika dalam bidang ilmu lain dalam kehidupan sehari-hari. Secara sengaja atau tidak sengaja maupun langsung atau tidak langsung, masyarakat atau siswa menerapkan matematika dalam kehidupan sehari-hari. Selain melalui arahan dan pendekatan yang tepat, dapat juga dengan merevisi kurikulum yang disesuaikan kondisi dan keadaan.

Perubahan kurikulum telah dilakukan oleh pemerintah melalui Departemen Pendidikan Nasional (Depdiknas). Kurikulum terbaru dinamakan Kurikulum Satuan Tingkat Pendidikan (KTSP) yang disesuaikan dengan kondisi dan keadaan sekolah. Selain disesuaikan dengan jenjang dan program keahliannya. Setiap materi matematika diarahkan untuk dapat diterapkan atau diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari melalui soal-soal aplikasi.

Matematika memiliki peranan penting dalam pengembangan ilmu pengetahuan yang lain dan mampu menjawab permasalahan-permasalahan kehidupan dengan cepat dan tepat serta dapat dipertanggungjawabkan

Sahabat/i math.. Sperti hari-hari biasa.. saya selalu semangat untuk mengajar anak-anak didik, dengan wajah penuh ceria, di tambah nada bicara penuh semangat+energik.. Akan tetapi (ternyata) anak-anak didik saya belum bisa menangkap bahasa-bahasa math yg saya gunakan dan bahasa-bahasa pemikiran positife tentang masalah math,, Hemm.. Apakah saya yg salah mengajar?? Ato anak-anak didik saya yg keterlaluan?? Atau memang math di desain untuk membuat kondisi seperti ini.??? Yang jelas hari ini saya merasa gagal,, dengan kerjaan saya..sebagai pengajar math+motivator math.. tapi kalau melihat grade anak-anak didik yg saya ajar, memang di bawah standart.. Hemmm,...sabar2,, tetap semangat.. ;-D

Sahabat/i math,, hari ini saya mulai mengajar lagi setelah sekian minggu libur.. telah lama hati ini tidak menghirup segarnya anak2 yg semangat belajar math, dan itu yg ku tunggu-tunggu hari ini,,, Tapi apa mau di kata, kenyataan masih jauh dari keinginan, yang ku inginkan itu tadi,ternyata masih jauh dari sebuah harapan? Yang ada hanya anak2 yg males+ngantuk dalam kelas, padahal saya sudah mengevaluasi cara mengajarku dan metode yang jalani,,ternyata msh kurang di mata anak2.. Dengan semangat membara saya tetap mengajar dengan penuh harapan semoga anak2 kelak dapat mengamalkan ilmu2 math dan berguna untuk kehidupan mereka.. Amien "> Sahabat/i math,, hari ini saya mulai mengajar lagi setelah sekian minggu libur.. telah lama hati ini tidak menghirup segarnya anak2 yg semangat belajar math, dan itu yg ku tunggu-tunggu hari ini,,, Tapi apa mau di kata, kenyataan masih jauh dari keinginan, yang ku inginkan itu tadi,ternyata masih jauh dari sebuah harapan? Yang ada hanya anak2 yg males+ngantuk dalam kelas, padahal saya sudah mengevaluasi cara mengajarku dan metode yang jalani,,ternyata msh kurang di mata anak2.. Dengan semangat membara saya tetap mengajar dengan penuh harapan semoga anak2 kelak dapat mengamalkan ilmu2 math dan berguna untuk kehidupan mereka.. Amien

Selamat idul fitri 1432 H Mohon maaf lahir dan Batin Smoga kita kembali ke Fitri.. Amien ya Robbal'alamin ullpost"> Selamat idul fitri 1432 H Mohon maaf lahir dan Batin Smoga kita kembali ke Fitri.. Amien ya Robbal'alamin

misalkan ada kasus seperti ini...
ada 25 soal olimpiade matematika
betul di kali 4
salah di kali - 1
tidak dikerjakan 0
sekarang kasusnya,,'
kasus 1
ada anak mengerjakan 25 soal.. salah 10,, sehingga 15X4 = 45 - (10x(-1))= 45 - 10 = 35
sehingga skornya 35
kasus 2
ada anak mengerjakan 10 soal.. salah 1, sehingga 9x4 = 36 - (1x(-1))= 36 - 1 = 35
sehingga skornya 35
kasus 1 & kasus 2 adalah peringkat tertinggi atau skor yang paling tinggi..
anak manakah yg seharusnya menjdi pemenang????????????????
klu menurutku, kita harus gunakan logika mengerjakan olimpiade,, yaitu anak harus pintar memilih soal yg mempunyai skor yg tertinggi dan harus mengerjakan smua soal smua..
akan tetapi harus teliti menjawab, sehingga tidak banyak nilai negatifnya,,
kasus ini(kasus 2) pernah saya alami ketika saya mengantar anak didik saya pada olimpiade matematika..dan akhirnya anak didik saya tdak lolos..
saya kecewa,, dengan panitia, karena seharusnya logika yang di gunakan adalah cara mengerjakan soal olimpiade.. bukan sistem banyak2kan mengerjakan soal..
ada yg ngasis komentar atau pendapat..??..
saya tunggu.. saya pengen sharing masalah ini..

Guru adalah profesi yang mempersiapkan sumber daya manusia untuk menyongsong pembangunan bangsa dalam mengisi kemerdekaan. Guru dengan segala kemampuannya dan daya upayanya mempersiapkan pembelajaran bagi peserta didiknya. Sehingga tidak salah jika kita menempatkan guru sebagai salah satu kunci pembangunan bangsa menjadi bangsa yang maju dimasa yang akan datang. Dapat dibayangkan jika guru tidak menempatkan fungsi sebagaimana mestinya, bangsa dan negara ini akan tertinggal dalam kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi yang kian waktu tidak terbendung lagi perkembangannya.

Peran guru sebagai fasilitator membawa konsekuensi terhadap perubahan pola hubungan guru-siswa, yang semula lebih bersifat “top-down” ke hubungan kemitraan. Dalam hubungan yang bersifat “top-down”, guru seringkali diposisikan sebagai “atasan” yang cenderung bersifat otoriter, sarat komando, instruksi bergaya birokrat, bahkan pawang, sebagaimana disinyalir oleh Y.B. Mangunwijaya (Sindhunata, 2001). Sementara, siswa lebih diposisikan sebagai “bawahan” yang harus selalu patuh mengikuti instruksi dan segala sesuatu yang dikehendaki oleh guru.

Berbeda dengan pola hubungan “top-down”, hubungan kemitraan antara guru dengan siswa, guru bertindak sebagai pendamping belajar para siswanya dengan suasana belajar yang demokratis dan menyenangkan. Oleh karena itu, agar guru dapat menjalankan perannya sebagai fasilitator seyogyanya guru dapat memenuhi prinsip-prinsip belajar yang dikembangkan dalam pendidikan kemitraan

Dalam konteks pendidikan, istilah fasilitator semula lebih banyak diterapkan untuk kepentingan pendidikan orang dewasa (andragogi), khususnya dalam lingkungan pendidikan non formal. Namun sejalan dengan perubahan makna pengajaran yang lebih menekankan pada aktivitas siswa, belakangan ini di Indonesia istilah fasilitator pun mulai diadopsi dalam lingkungan pendidikan formal di sekolah, yakni berkenaan dengan peran guru pada saat melaksanakan interaksi belajar mengajar.

siswa akan belajar dengan baik apabila:

1. Siswa secara penuh dapat mengambil bagian dalam setiap aktivitas pembelajaran
2. Apa yang dipelajari bermanfaat dan praktis (usable).
3. Siswa mempunyai kesempatan untuk memanfaatkan secara penuh pengetahuan dan keterampilannya dalam waktu yang cukup.
4. Pembelajaran dapat mempertimbangkan dan disesuaikan dengan pengalaman-pengalaman sebelumnya dan daya pikir siswa.
5. Terbina saling pengertian, baik antara guru dengan siswa maupun siswa dengan siswa

Guru Sejati, dan Sedulur Papat Lima Pancer HAKEKAT GURU SEJATI Kembali pada pembahasan Guru Sejati. Melalui 3 langkahnya (Triwikrama) Dewa Wishnu (Yang Hidup), mengarungi empat macam zaman (kertayuga, tirtayuga, kaliyuga, dwaparayuga), lalu lahirlah manusia dengan konstruksi terdiri dari fisik dan metafisik di dunia (zaman mercapada). Fisik berupa jasad atau raga, sedangkan metafisiknya adalah roh beserta

Guru itu kata orang jawa dari kata digugu (dipercaya) dan ditiru (dicontoh). Anak-anak lebih percaya penjelasan gurunya dari orang tuanya, karena dimata anak-anak guru adalah orang yang paling tahu dan yang benar. Guru mejadi teladan bagi mereka. Berat sekali memang beban seorang guru itu, apalagi untuk menjadi guru yang diidamkan dan selalu menjadi uswah bagi santrinya. Seorang guru adalah pendidik bukan hanya pengajar.

Ada beberapa syarat menjadi guru idaman yang ideal, yaitu :

1. Berpenampilan rapi. Karena guru menjadi pusat perhatian anak didiknya maka dia harus berpenampilan menarik dan rapi. Penampilan menarik tidak harus berpakaian yang serba mahal, tapi usahakan semuanya rapi mulai baju, celana, kerudung (yang perempuan), rambut, sepatu dan sebagainya. Contoh : apabila sepatu kita kekecilan akan mengganggu selama mengajar kita.
2. Bisa mengatur suara. Guru harus mengatur suaranya agar tidak terlalu keras maupun terlalu pelan. Suara guru yang melengking keras ada mengganggu anak didik kita, begitu pula sebaliknya apabila suara kita terlalu pelan maka materi kita tidak akan tertangkap.
3. Ekspresi wajah. Kita harus pandai mengatur ekspresi wajah kita. Jangan sampai masalah yang ada di rumah terbawa ke sekolah, terutama kesedihan. Ekspresi wajah yang ceria, tegas, atau marah harus ditempatkan pada waktu yang tepat. Guru yang terlalu banyak cengengesan juga tidak akan disegani anak didiknya.
4. Siap Bahan ajar. Sebelum berangkat ke sekolahan kita harus sudah benar-benar siap materi yang akan kita sampaikan. Jangan sampai baru didepan kelas kita berfikir apa yang akan kita sampaikan. Jangan thinguk-thinguk didepan kelas sehingga jadi bahan tertawaan anak didik kita.
5. Mengajar secara total. Pemberian materi yang setengah-setengah hasilnya tidak akan maksimal. Apalagi kalau hati kita tidak sedang berada dalam ruangan/tempat tersebut. Yang terjadi adalah kasihan terhadap anak-anak. Untuk itu selai harus total juga harus memakai hati.
6. Masuk ke dunia anak.Dijenjang manapun mengajar kita harus tahu dunia anak didik kita. Semisal kita mendidik anak usia pra sekolah maka kita harus tahu bahwa dunia anak seumur itu adalah bermain. dsb.
7. Dekat dengan orang tua murid. Hal ini untuk mengetahui perkembangan maupun kebiasaan anak didik dirumah, sehingga kita bisa mendiskusikan dan mencari solusi dengan orang tua. Apabila seorang guru tidak ada komunikasi dengan orang tua maka akan terputus informasi perkembangan anak antara dirumah dan disekolah.

Ki Hajar Dewantoro yang lahir pada 2 Mei 1899dan tiap tanggal 2 Mei kita memperingati Hari Pendidikan Nasional (Hardiknas), telah mengambarkan tentang sosok guru idaman nan ideal. Saya yakin kata-kata beliau tidak asing lagi di telingga kita. Menurut beliau seorang guru harus:

1. Ing Ngarso Sung Tulodho
Kunci sukses pendidikan yang pertama dan utama adalah Akhlaq. Guru benar–benar harus bisa menjadi teladan dalam berakhlaq. Anak didik kebanyakan lebih percaya dengan gurunya daripada orangtuanya, karena guru dianggap tahu segala-galanya. Untuk itu segala tingkah laku, sopan santun guru akan menjadi panutan muridnya. Guru kencing berdiri, murid kencing berlari.

2. Ing Madyo Mangun Karso
Kunci sukses kedua adalah Minat dan Semangat Belajar. Guru harus benar–benar menjadi penggali minat dan pemompa semangat belajar anak sehingga setiap anak mampu berpikir kritis dan belajar mandiri.
Jadi sebetulnya guru tidak perlu banyak mengajar, justru lebih perlu banyak menggagas tentang beragam bintang prestasi di langit yang perlu setiap siswa gapai.

Seorang bijak berpendapat bahwa tugas guru itu ibaratnya bercerita tentang enaknya ilmu dan membangkitkan selera anak untuk melahap ilmu tersebut. Keberhasilan tertinggi guru adalah jika mampu mengubah siswa yang mogok belajar menjadi siswa lebih pandai dari dirinya. Ini bukan tidak mungkin, karena otak anak dalam golden-age sedang otak gurunya sudah mulai telmi, waktu belajar anak lebih luas, sementara waktu belajar guru lebih terbatas, sumber belajar saat ini lebih banyak daripada sumber belajar ketika guru kuliah.

3. Tut Wuri Handayani
Kunci sukses ketiga adalah Pengasuhan dan Pengayoman. Guru harus benar–benar pengganti orang tua yang menerapkan Asah, Asih, Asuh, namun sekali lagi bukan dalam arti mengajar tapi mendidik.

Syarat-Syarat Formal
• Mempunyai ijazah guru
• Harus sehat jasmani dan rohani
Berdasarkan hal-hal tersebut diatas agar menjadi guru agama yang baik, seorang guru harus mempunyai ijazah, sebab dengan begitu ia telah memiliki ilmu pengetahuan tentang keguruan. Disamping itu juga seorang guru harus sehat jasmani dan rohani sehingga dapat melaksanakan tugasnya dengan baik
Syarat Material
Yang dimaksud dengan syarat material yaitu:
• Menguasai ilmu yang diajarkan
• Mengerti ilmu jiwa
• Mengerti ilmu dedaktif dan metodik.•
Dari pendapat tersebut diatas, maka dapat penulis jelaskan bahwa setiap guru harus menguasai ilmu yang diajarkan, sebab hal itu dapat mempengaruhi pada penampilan guru dalam mengajar. Disamping itu menguasai bahan pelajaran tersebut. akan dapat menambah kesungguhan dan kecintaan terhadap tugas yang dilakukan sehingga pelajaran yang diajarkan tidak bersifat dangkal
Syarat Non Formal
• Memiliki loyalitas pada pemerintah
• Berakhlak mulia, taat melakukan ajaran agama
• Mempunyai dedikasi terhadap tugas sebagai guru
• Pemaaf
• Harus peka terhadap tabiat murid
• Harus mempunyai sifat terbuka.•
Berdasarkan pendapat diatas, maka disini penuli mencoba menjelaskan syarat-syarat ini, setiap guru harus loyal terhadap pemerintah yaitu dalam arti guru harus berkepribadian bangsa Indonesia yang berdasarkan Pancasila. Demikian juga seorang guru agama, harus berakhlak mulia serta taat menjalankan ajaran-ajaran agama, karena tinglah laku guru harus mencerminkan tingkah laku yang berbudi luhur, terutama guru agama

Syarat-Syarat Formal
• Mempunyai ijazah guru
• Harus sehat jasmani dan rohani
Berdasarkan hal-hal tersebut diatas agar menjadi guru agama yang baik, seorang guru harus mempunyai ijazah, sebab dengan begitu ia telah memiliki ilmu pengetahuan tentang keguruan. Disamping itu juga seorang guru harus sehat jasmani dan rohani sehingga dapat melaksanakan tugasnya dengan baik
Syarat Material
Yang dimaksud dengan syarat material yaitu:
• Menguasai ilmu yang diajarkan
• Mengerti ilmu jiwa
• Mengerti ilmu dedaktif dan metodik.•
Dari pendapat tersebut diatas, maka dapat penulis jelaskan bahwa setiap guru harus menguasai ilmu yang diajarkan, sebab hal itu dapat mempengaruhi pada penampilan guru dalam mengajar. Disamping itu menguasai bahan pelajaran tersebut. akan dapat menambah kesungguhan dan kecintaan terhadap tugas yang dilakukan sehingga pelajaran yang diajarkan tidak bersifat dangkal
Syarat Non Formal
• Memiliki loyalitas pada pemerintah
• Berakhlak mulia, taat melakukan ajaran agama
• Mempunyai dedikasi terhadap tugas sebagai guru
• Pemaaf
• Harus peka terhadap tabiat murid
• Harus mempunyai sifat terbuka.•
Berdasarkan pendapat diatas, maka disini penuli mencoba menjelaskan syarat-syarat ini, setiap guru harus loyal terhadap pemerintah yaitu dalam arti guru harus berkepribadian bangsa Indonesia yang berdasarkan Pancasila. Demikian juga seorang guru agama, harus berakhlak mulia serta taat menjalankan ajaran-ajaran agama, karena tinglah laku guru harus mencerminkan tingkah laku yang berbudi luhur, terutama guru agama

1. Selalu punya energi untuk siswanya
Seorang guru yang baik menaruh perhatian pada siswa di setiap percakapan atau diskusi dengan mereka. Guru yang baik juga punya kemampuam mendengar dengan seksama.

2. Punya tujuan jelas untuk Pelajaran
Seorang guru yang baik menetapkan tujuan yang jelas untuk setiap pelajaran dan bekerja untuk memenuhi tujuan tertentu dalam setiap kelas.

3. Punya keterampilan mendisiplinkan yang efektif
Seorang guru yang baik memiliki keterampilan disiplin yang efektif sehingga bisa mempromosikan perubahan perilaku positif di dalam kelas.

4. Punya keterampilan manajemen kelas yang baik
Seorang guru yang baik memiliki keterampilan manajemen kelas yang baik dan dapat memastikan perilaku siswa yang baik, saat siswa belajar dan bekerja sama secara efektif, membiasakan menanamkan rasa hormat kepada seluruh komponen didalam kelas.

5. Bisa berkomunikasi dengan Baik Orang Tua
Seorang guru yang baik menjaga komunikasi terbuka dengan orang tua dan membuat mereka selalu update informasi tentang apa yang sedang terjadi di dalam kelas dalam hal kurikulum, disiplin, dan isu lainnya. Mereka membuat diri mereka selalu bersedia memenuhi panggilan telepon, rapat, email dan sekarang, twitter.

6. Punya harapan yang tinggi pada siswa nya
Seorang guru yang baik memiliki harapan yang tinggi dari siswa dan mendorong semua siswa dikelasnya untuk selalu bekerja dan mengerahkan potensi terbaik mereka.

7. Pengetahuan tentang Kurikulum
Seorang guru yang baik memiliki pengetahuan mendalam tentang kurikulum sekolah dan standar-standar lainnya. Mereka dengan sekuat tenaga memastikan pengajaran mereka memenuhi standar-standar itu.

8. Pengetahuan tentang subyek yang diajarkan
Hal ini mungkin sudah jelas, tetapi kadang-kadang diabaikan. Seorang guru yang baik memiliki pengetahuan yang luar biasa dan antusiasme untuk subyek yang mereka ajarkan. Mereka siap untuk menjawab pertanyaan dan menyimpan bahan menarik bagi para siswa, bahkan bekerja sama dengan bidang studi lain demi pembelajaran yang kolaboratif.

9. Selalu memberikan yang terbaik untuk Anak-anak dan proses Pengajaran
Seorang guru yang baik bergairah mengajar dan bekerja dengan anak-anak. Mereka gembira bisa mempengaruhi siswa dalam kehidupan mereka dan memahami dampak atau pengaruh yang mereka miliki dalam kehidupan siswanya, sekarang dan nanti ketika siswanya sudah beranjak dewasa.

10. Punya hubungan yang berkualitas dengan Siswa
Seorang guru yang baik mengembangkan hubungan yang kuat dan saling hormat menghormati dengan siswa dan membangun hubungan yang dapat dipercaya.

1. Selalu punya energi untuk siswanya
Seorang guru yang baik menaruh perhatian pada siswa di setiap percakapan atau diskusi dengan mereka. Guru yang baik juga punya kemampuam mendengar dengan seksama.

2. Punya tujuan jelas untuk Pelajaran
Seorang guru yang baik menetapkan tujuan yang jelas untuk setiap pelajaran dan bekerja untuk memenuhi tujuan tertentu dalam setiap kelas.

3. Punya keterampilan mendisiplinkan yang efektif
Seorang guru yang baik memiliki keterampilan disiplin yang efektif sehingga bisa mempromosikan perubahan perilaku positif di dalam kelas.

4. Punya keterampilan manajemen kelas yang baik
Seorang guru yang baik memiliki keterampilan manajemen kelas yang baik dan dapat memastikan perilaku siswa yang baik, saat siswa belajar dan bekerja sama secara efektif, membiasakan menanamkan rasa hormat kepada seluruh komponen didalam kelas.

5. Bisa berkomunikasi dengan Baik Orang Tua
Seorang guru yang baik menjaga komunikasi terbuka dengan orang tua dan membuat mereka selalu update informasi tentang apa yang sedang terjadi di dalam kelas dalam hal kurikulum, disiplin, dan isu lainnya. Mereka membuat diri mereka selalu bersedia memenuhi panggilan telepon, rapat, email dan sekarang, twitter.

6. Punya harapan yang tinggi pada siswa nya
Seorang guru yang baik memiliki harapan yang tinggi dari siswa dan mendorong semua siswa dikelasnya untuk selalu bekerja dan mengerahkan potensi terbaik mereka.

7. Pengetahuan tentang Kurikulum
Seorang guru yang baik memiliki pengetahuan mendalam tentang kurikulum sekolah dan standar-standar lainnya. Mereka dengan sekuat tenaga memastikan pengajaran mereka memenuhi standar-standar itu.

8. Pengetahuan tentang subyek yang diajarkan
Hal ini mungkin sudah jelas, tetapi kadang-kadang diabaikan. Seorang guru yang baik memiliki pengetahuan yang luar biasa dan antusiasme untuk subyek yang mereka ajarkan. Mereka siap untuk menjawab pertanyaan dan menyimpan bahan menarik bagi para siswa, bahkan bekerja sama dengan bidang studi lain demi pembelajaran yang kolaboratif.

9. Selalu memberikan yang terbaik untuk Anak-anak dan proses Pengajaran
Seorang guru yang baik bergairah mengajar dan bekerja dengan anak-anak. Mereka gembira bisa mempengaruhi siswa dalam kehidupan mereka dan memahami dampak atau pengaruh yang mereka miliki dalam kehidupan siswanya, sekarang dan nanti ketika siswanya sudah beranjak dewasa.

10. Punya hubungan yang berkualitas dengan Siswa
Seorang guru yang baik mengembangkan hubungan yang kuat dan saling hormat menghormati dengan siswa dan membangun hubungan yang dapat dipercaya.

kompetensi guru dapat dimaknai sebagai gambaran tentang apa yang seharusnya dapat dilakukan oleh seseorang guru dalam melaksanakan pekerjaannya, baik berupa kegiatan, berperilaku maupun hasil yang dapat ditunjukkan

Program tahunan adalah rencana penetapan alokasi waktu satu tahun untuk mencapai tujuan (SK dan KD) yang telah ditetapkan. Penetapan alokasi waktu diperlukan agar seluruh kompetensi dasar yang ada dalam kurikulum seluruhnya dapat dicapai oleh siswa. Penentuan alokasi waktu ditentukan pada jumlah jam pelajaran sesuai dengan struktur kurikulum yang berlaku serta keluasan materi yang harus dikuasai oleh siswa
Program Tahunan merupakan program umum setiap mata pelajaran untuk setiap kelas, berisi tentang garis-garis besar yang hendak dicapai dalam satu tahun dan dikembangkan oleh guru mata pelajaran yang bersangkutan program ini perlu dipersiapkan dan dikembangkan oleh guru sebelum tahun pelajaran dimulai , karena merupakan pedoman bagi pengembangan program-progran berikutnya, yakni program semester, mingguan dan harian serta pembuatan silabus dan sistem penilaian komponen-komponen program tahunan meliputi identifikasi(satuan pendidikan,mata pelajaran, tahun pelajaran) standart kompetensi , kompetensi dasar , alokasi waktu dan keterangan.
Program Tahunan merupakan program umum setiap mata pelajaran untuk setiap kelas yang dikembangkan oleh guru mata pelajaran yang bersangkutan program ini telah dipersiapkan dan dikembangkan oleh guru mata pelajaran sebelum tahun ajaran karena merupakan pedoman bagi pengembangan program-program berikutnya.
Program tahunan merupakan program umum setiap mata pelajaran untuk setiap kelas, yang dikembangkan oleh guru mata pelajaran yang bersangkutan sebagai pedoman bagi pengembangan program-program selanjutnya, seperti program semester, program mingguan, dan program harian atau program pembelajaran setiap pokok bahasan
Program tahunan memuat penjabaran alokasi waktu tiap-tiap standar kompetensi dan kompetensi dasar untuk tiap semester dan tiap kelas selama satu tahun pelajaran. Program tahunan selanjutnya dijabarkan secara rinci pada program semester. Program tahunan dipersiapkan dan dikembangkan oleh guru sebelum tahun pelajaran dimulai, karena merupakan pedoman bagi pengembangan program-program berikutnya. Program tahunan merupakan program umum setiap mata pelajaran untuk setiap kelas, rang dikembangkan oleh guru mata pelajaran yang bersangkutan

Semester adalah satuan waktu yang digunakan untuk penyelenggaraan program pendidikan. Kegiatan yang dilaksanakan untuk penyelenggaraan program pendidikan. Kegiatan yang dilaksanakan dalam semester itu ialah kegiatan tatap muka, pratikum, keraja lapangan, mid semester, ujian semester dan berbagai kegiatan lainya yang diberi penilaian keberhasilan. Satu semester terdiri dari 19 minggu kerja termasuk penyelenggaraan tatap muka, mid semester dan ujian semester.
Dalam program pendidikan semester dipakai satuan waktu terkecil, yaitu satuan semester untuk menyatakan lamanya satu program pendidikan. Masing-masing program semester sifatnya lengkap dan merupakan satu kebulatan dan berdiri sendiri. Pada setiap akhir semester segenap bahan kegiatan program semester yang disajikan harus sudah selesai dilaksanakan dan mahasiswa yang mengambil program tersebut sudah dapat ditentukan lulus atau tidak.
Program semester adalah program yang berisikan garis-garis besar mengenai hal-hal yang hendak dilaksanakan dan dicapai dalam semester tersebut. Program semester merupakan penjabaran dari program tahunan. Isi dari program semester adalah tentang bulan, pokok bahasan yang hendak disampaikan, waktu yang direncanakan, dan keterangan-keterangan.

Banyak sistem bilangan yang dapat dan telah dipakai dalam melaksanakan
perhitungan. Tetapi ada sistem bilangan
yang sudah jarang dipakai ataupun tidak dipakai lagi sama sekali dan ada pula sistem bilangan yang hanya dipakai
pada hal-hal tertentu saja. Sistem bilangan limaan (quinary) dipergunakan oleh orang Eskimo dan orang Indian di
Amerika Utara zaman dahulu. Sistem bilangan Romawi yang sangat umum dipakai pada zaman kuno, kini
pemakaiannya
terbatas
pada pemberian nomor urut seperti I untuk pertama, II untuk kedua, V untuk kelima
dan
seterusnya; kadang-kadang dipakai juga untuk penulisan tahun seperti MDCCCIV untuk menyatakan tahun 1804.
Sistem bilangan dua belasan (duodecimal) sampai kini masih banyak dipakai seperti 1 kaki = 12 Inci, 1 lusin = 12
buah dan sebagainya.
Namun yang paling umum dipakai kini adalah sistem bilangan puluhan (decimal) yang kita
pakai dalam kehidupan
sehari-hari.
Karena komponen-komponen komputer digital yang merupakan
sistem digital
bersifat saklar (switch), sistem bilangan
yang paling sesuai untuk komputer
digital adalah sistem bilangan biner (binary). Keserdehanaan
pengubahan bilangan biner ke bilangan oktal atau heksadesimal dan sebaliknya, membuat bilangan
oktal dan
heksadesimal juga banyak dipakai dalam dunia komputer, terutama
dalam hubungan pengkodean. Bilangan Biner,
Oktal dan Heksadesimal
akan dibahas dalam bab ini didahului dengan pembahasan
singkat tentang bilangan
desimal sebagai
pengantar

Untuk memahami galat pembulatan lebih rinci, kita perlu mengerti cara penyimpanan bilangan riil di dalam komputer. Format bilangan riil di dalam komputer berbeda-beda bergantung pada piranti keras dan compiler bahasa pemrogramannya. Bilangan riil di dalam komputer umumnya disajikan dalam format bilangan titik-kambang. Bilangan titik -kambang a ditulis sebagai
a = m B p = 0.d1d2d3d4d5d6 ...dn Bp (P.2.17)
yang dalam hal ini, m = mantisa (riil), d1d2d3d4d5d6 ...dn adalah digit atau bit mantisa yang
nilainya dari 0 sampai B – 1, n adalah panjang digit (bit) mantisa. B = basis sistem bilangan yang dipakai (2, 8, 10, 16, dan sebagainya) p = pangkat (berupa bilangan bulat), nilainya dari –Pmin sampai +Pmaks

32 Metode Numerik
Sebagai contoh, bilangan riil 245.7654 dinyatakan sebagai 0.2457654 103 dalam format bilangan titik kambang dengan basis 10. Cara penyajian seperti itu serupa dengan cara penulisan ilmiah. Penulisan ilmiah termasuk ke dalam system bilangan titik-kambang. Sistem bilangan yang kita gunakan setiap hari menggunakan basis sepuluh (disebut juga sistem desimal), B = 10. Umumnya komputer menggunakan system biner (B = 2), tapi beberapa komputer menggunakan basis 8 dan 16. Untuk memudahkan pemahaman –juga karena kita lebih terbiasa sehari-hari dengan bilangan desimal– kebanyakan contoh-contoh bilangan titik-kambang di dalam bab ini disajikan dalam sistem desimal. Bilangan titik-kambang di dalam sistem biner biner direpresentasikan oleh komputer dalam bentuk word seperti ditunjukkan pada Gambar 2.2. Bit pertama menyatakan tanda (+/-), deretan bit berikutnya menyatakan pangkat bertanda, dan deretan bit terakhir untuk mantisa.
Setiap komputer memiliki panjang word yang berbeda-beda. Pada komputer IBM PC, bilangan titik-kambang berketelitian tunggal (single precission) disajikan dalam 32 bit yang terdiri atas 1 bit sebagai tanda, 8 bit untuk pangkat dan 23 bit untuk mantisa. Jika dalam bentuk ternormalisasi (akan dijelaskan kemudian), maka bit pertama pada mantisa harus 1, sehingga jumlah bit mantisa efektif adalah 24:
a = 0.1b1b2b3b4b5b6 ...b23 Bp
yang dalam hal ini b menyatakan bit biner (0 atau 1). Sedangkan pada komputer IBM 370, bilangan titik-kambang berketelitian tunggal disajikan dalam 32 bit yang terdiri dari 1 bit tanda, 7 bit pangkat (basis 16), dan 24 bit mantis (setara dengan 6 sampai 7 digit desimal).

Konsep angka bena (significant figure) atau angka berarti telah dikembangkan secara formal untuk menandakan keandalan suatu nilai numerik. Angka bena adalah angka bermakna, angka penting, atau angka yang dapat digunakan dengan pasti
Contohnya,
• 43.123 memiliki 5 angka bena (yaitu 4, 3, 1, 2, 3)
• 0.1764 memiliki 4 angka bena (yaitu 1, 7, 6, 4)
• 0.0000012 memiliki 2 angka bena (yaitu 1, 2)
• 278.300 memiliki 6 angka bena (yaitu 2, 7, 8, 3, 0, 0)
• 270.0090 memiliki 7 angka bena (yaitu 2, 7, 0, 0, 0, 9, 0)
• 0.0090 memiliki 2 angka bena (yaitu 9, 0)
• 1360, 1.360, 0.001360 semuanya memiliki 4 angka bena

Perhatikanlah bahwa angka 0 bisa menjadi angka bena atau bukan. Pada contoh 0.001360, tiga buah angka nol pertama tidak berarti, sedangkan 0 yang terakhir angka berarti karena pengukuran dilakukan sampai ketelitian 4 digit. Jumlah angka bena akan terlihat dengan pasti bila bilangan riil itu ditulis dalam penulisan ilmiah (scientific notation), misalnya tetapan dalam kimia dan fisika atau ukuran jarak dalam astronomi. Jumlah angka bena terletak pada jumlah digit mantis-nya (tentang mantis ini akan dibahas belakangan):
• 4.3123 101 memiliki 5 angka bena
• 1.764 10-1 memiliki 4 angka bena
• 1.2 10-6 memiliki 2 angka bena
• 2.78300 102 memiliki 6 angka bena
• 0.2700090 103 memiliki 7 angka bena
• 9.0 10-3 memiliki 2 angka bena
• 13.60 102 , 0.1360 101 , 1.360 10-3 memiliki 4 angka bena
• 6.02 1023 memiliki 24 angka bena (bilangan Avogadro)
• 1.5 107 memiliki 8 angka bena (jarak bumi-matahari)
Komputer hanya menyimpan sejumlah tertentu angka bena. Bilangan riil yang jumlah angka benanya melebihi jumlah angka bena komputer akan disimpan dalam sejumlah angka bena komputer itu. Pengabaian angka bena sisanya itulah yang menimbulkan galat pembulatan

Perhitungan dengan metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil.Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan oleh mesin (dalam hal inikomputer) karena semua bilangan riil tidak dapat disajikan secara tepat di dalamkomputer. Keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil menghasilkangalat yang disebut galat pembulatan. Sebagai contoh 1/6 = 0.166666666… tidak dapat dinyatakan secara tepat oleh komputer karena digit 6 panjangnya tidak terbatas. Komputer hanya mampu merepresentasikan sejumlah digit (atau bit dalam sistem biner) saja. Bilangan riil yang panjangnya melebihi jumlah digit (bit) yang dapat direpresentasikan oleh komputer dibulatkan ke bilangan terdekat. Misalnya sebuah komputer hanya dapat merepresentasikan bilangan riil dalam 6 digit angka berarti, maka representasi bilangan 1/6 = 0.1666666666… di dalam komputer 6-digit tersebut adalah 0.166667. Galat pembulatannya adalah 1/6 – 0.166667 = -0.000000333. Contoh dalam sistem biner misalnya
1/10 = 0.000110011001100110011 00110011…2 direpresentasikan di dalam komputer dalam jumlah bit yang terbatas. Kebanyakan komputer digital mempunyai dua buah cara penyajian bilangan riil, yaitu bilangan titik-tetap (fixed point) dan bilangan titik-kambang (floatingpoint) Dalam format bilangan titik -tetap setiap bilangan disajikan dengan jumlah tempat desimal yang tetap, misalnya 62.358, 0.013, 1.000. Sedangkan dalam format bilangan titik-kambang setiap bilangan disajikan dengan jumlah digit berarti yang sudah tetap, misalnya 0.6238 103 0.1714 10-13 atau ditulis juga 0.6238E+03 0.1714E-13 Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik-kambang disebut juga angka bena (significant figure).

Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik:
1. Galat pemotongan (truncation error)
2. Galat pembulatan (round-off error)
Selain kedua galat ini, masih ada sumber galat lain, antara lain [KRE88]:
a. Galat eksperimental, yaitu galat yang timbul dari data yang diberikan, misalnya karena kesalahan pengukuran, ketidaktelitian alat ukur, dan sebagainya
b. Galat pemrograman. Galat yang terdapat di dalam program sering dinamakan dengan kutu (bug), dan proses penghilangan galat ini dinamakan penirkutuan (debugging).

Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan yang menggunakan metode numerik. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan. Kita harus memahami dua hal: (a) bagaimana menghitung galat, dan (b) bagaimana galat timbul. Misalkan aˆ adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a, maka selisih
a a ˆ e (P.2.8)
disebut galat. Sebagai contoh, jika aˆ = 10.5 adalah nilai hampiran dari a = 10.45, maka galatnya adalah e = -0.01. Jika tanda galat (positif atai negatif) tidak dipertimbangkan, maka galat mutlak dapat didefenisikan sebagai
a a ˆ e (P.2.9)
Sayangnya, ukuran galat e kurang bermakna sebab ia tidak menceritakan seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai sejatinya. Sebagai contoh, seorang anak melaporkan panjang sebatang kawat 99 cm, padahal panjang sebenarnya 100 cm. Galatnya adalah 100 - 99 = 1 cm. Anak yang lain melaporkan panjang sebatang pensil 9 cm, padahal panjang sebenarnya 10 cm, sehingga galatnya juga 1 cm. Kedua galat pengukuran sama-sama bernilai 1 cm, namun galat 1 cm pada pengukuran panjang pensil lebih berarti daripada galat 1 cm pada pengukuran panjang kawat. Jika tidak ada informasi mengenai panjang sesungguhnya, kita mungkin menganggap kedua galat tersebut sama saja. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat ini, maka galat harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya. Gagasan ini melahirkan apa yang dinamakan galat relatif.

Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat relatif tersebut dinamakan juga galat relatif sejati. Dengan demikian, pengukuran panjang kawat mempunyai galat relatif sejati = 1/100 = 0.01, sedangkan pengukuran panjang pensil mempunyai galat relatif sejati = 1/10 = 0.1.
Dalam praktek kita tidak mengetahui nilai sejati a, karena itu galat e seringkali dinormalkan terhadap solusi hampirannya, sehingga galat relatifnya dinamakan galat relatif hampiran:
a RA ˆ
e
e (P.2.12)
Contoh 2.4
Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = 3.333. Hitunglah galat, galat mutlak, galat relatif, dan galat relatif hampiran.
Penyelesaian:
galat = 10/3 – 3.333 = 10/3 – 3333/1000 = 1/3000 = 0.000333…
galat mutlak = | 0.000333…| = 0.000333…
galat relatif = (1/3000)/(10/3) = 1/1000 = 0.0001
galat relatif hampiran = (1/3000)/3.333 = 1/9999 
Galat relatif hampiran yang dihitung dengan persamaan (P.2.12) masih
mengandung kelemahan sebab nilai e tetap membutuhkan pengetahuan nilai a (dalam praktek kita jarang sekali mengetahui nilai sejati a). Oleh karena itu, perhitungan galat relatif hampiran menggunakan pendekatan lain. Pada perhitungan numerik yang menggunakan pendekatan lelaran (iteration), eRA dihitung dengan cara
yang dalam hal ini ar+1 adalah nila i hampiran lelaran sekarang dan ar adalah nilai hampiran lelaran sebelumnya. Proses lelaran dihentikan bila
eRA< eS
yang dalam hal ini eS adalah toleransi galat yang dispesifikasikan. Nilai eS menentukan ketelitian solusi numerik. Semakin kecil nilai eS, semakin teliti solusinya, namun semakin banyak proses lelarannya. Contoh 2.5 mengilustrasikan hal ini.

Program ditulis dengan bahasa pemrograman tertentu, seperti FORTRAN,PASCAL, C, C++, BASIC, dan sebagainya.
Sebenarnya, menulis program numerik tidak selalu diperlukan. Di pasaran terdapat banyak program aplikasi komersil yang langsung dapat digunakan. Beberapa contoh aplikasi yang ada saat ini adalah MathLab, MathCad, Maple, Mathematica, Eureka, dan sebagainya. Selain itu, terdapat juga library yang berisi rutin-rutin yang siap digabung dengan program utama yang ditulis pengguna, misalnya IMSL (International Mathematical and Statistical Library)
Math/Library yang berisi ratusan rutin-rutin metode numerik. Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer kita dapat mencoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter. Solusi yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubahubah nilai parameter. Kemajuan komputer digital telah membuat bidang metode numerik berkembang secara dramatis. Tidak ada bidang matematika lain yang mengalami kemajuan penting secepat metode numerik. Tentu saja alasan utama penyebab kemajuan ini
adalah perkembangan komputer itu sendiri, dari komputer mikro sampai komputer Cray, dan kita melihat perkembangan teknologi komputer tidak pernah berakhir. Tiap generasi baru komputer menghadirkan keunggulan seperti waktu, memori, ketelitian, dan kestabilan perhitungan. Hal ini membuat ruang penelitian semakin terbuka luas. Tujuan utama penelitian itu adalah pengembangan algoritma numerik yang lebih baik dengan memanfaatkan keunggulan komputer semaksimal 10 Metode Numerik mungkin. Banyak algoritma baru lahir atau perbaikan algoritma yang lama didukung oleh komputer. Bagian mendasar dari perhitungan rekayasa yang dilakukan saat ini adalah perhitungan "waktu nyata" (real time computing), yaitu perhitungan keluaran (hasil) dari data yang diberikan dilakukan secara simultan dengan event pembangkitan data tersebut, sebagaimana yang dibutuhkan dalam mengendalikan proses kimia atau reaksi nuklir, memandu pesawat udara atau roket dan sebagainya]. Karena itu, kecepatan perhitungan dan kebutuhan memori komputer adalah pertimbangan yang sangat penting. Jelaslah bahwa kecepatan tinggi, keandalan, dan fleksibilitas computer memberikan akses untuk penyelesaian masalah praktek. Sebagai contoh, solusi sistem persamaan lanjar yang besar menjadi lebih mudah dan lebih cepat diselesaikan dengan komputer. Perkembangan yang cepat dalam metode numeric antara lain ialah penemuan metode baru, modifikasi metode yang sudah ada agar lebih mangkus, analisis teoritis dan praktis algoritma untuk proses perhitungan baku, pengkajian galat, dan penghilangan jebakan yang ada pada metode.

Bagi rekayasawan, solusi yang diperoleh secara analitik kurang berguna untuk tujuan numerik. Persoalan rekayasa dalam prakteknya tidak selalu membutuhkan solusi dalam bentuk fungsi matematika menerus (continuous). Rekayasawan seringkali menginginkan solusi dalam bentuk numerik, misalnya persoalan integral tentu dan persamaan diferensial. Bagi rekayasawan, solusi persamaan diferensial yang berbentuk fungsi menerus ini tidak terlalu penting (bahkan beberapa persamaan diferensial tidak dapat dicari solusi khususnya karena memang tidak ada teknik yang baku untuk menyelesaikannya). Dalam praktek di lapangan, seringkali para rekayasawan hanya ingin mengetahui berapa suhu bola logam setelah t tertentu misalnya setelah 30 menit tanpa perlu mencari solusi khususnya dalam bentuk fungsi terlebih dahulu. Rekayasawan cukup memodelkan sistem ke dalam persamaan diferensial, lalu solusi untuk t tertentu dicari secara numerik.
Komputer berperan besar dalam perkembangan bidang metode numerik. Hal ini mudah dimengerti karena perhitungan dengan metode numerik adalah berupa operasi aritmetika seperti penjumlahan, perkalian, pembagian, plus membuat perbandingan. Sayangnya, jumlah operasi aritmetika ini umumnya sangat banyak dan berulang, sehingga perhitungan secara manual sering menjemukan. Manusia (yang melakukan perhitungan manual ini) dapat membuat kesalahan dalam melakukannya. Dalam hal ini, komputer berperanan mempercepat proses perhitungan tanpa membuat kesalahan. Penggunaan komputer dalam metode numerik antara lain untuk memprogram. Langkah-langkah metode numerik diformulasikan menjadi program komputer.

Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro,dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal alias rumit. Model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution). Yang dimaksud dengan metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim). praktis adalah jelas. Dari kacamata rekayasawan, masih tampak banyak cara penyelesaian persoalan matematik yang dirasa terlalu sulit atau dalam bentuk yang kurang kongkrit. Penyelesaian analitik yang sering diberikan oleh kaum matematika kurang berguna bagi rekayasawan, karena ia harus dapat mentransformasikan solusi matematika yang sejati ke dalam bentuk berwujud yang biasanya meninggalkan kaidah kesejatiannya. Solusi hampiran biasanya sudah memenuhi persyaratan rekayasa dan dapat diterima sebagai solusi. Lagipula, banyak persoalan matematika dalam bidang rekayasa yang hanya dapat dipecahkan secara hampiran. Kadang-kadang dapat pula terjadi bahwa metode analitik hanya menjamin keberadaan (atau hanya mengkarakteristikkan beberapa properti umum) solusi, tetapi tidak memberikan